更新时间：2024-05-21 14:53
域理论是研究通常叫做域(domain)的特定种类偏序集合的数学分支。因此域理论可以被看作是序理论的分支。这个领域主要应用于计算机科学中，特别是针对函数式编程语言，用它来指定指称语义。域理论以非常一般化的方式形式化了逼近和收敛的直觉概念，并与拓扑学有密切联系。在计算机科学中指称语义的一个可作为替代的方式是度量空间。
Dana Scott 在 1960 年代后期发起对域的研究的主要动机是为 lambda 演算找寻指称语义。在这种形式化中，认为“函数”通过在这个语言中的特定项指定。在纯粹语法方式下，可以得到从简单函数到接受其他函数作为它的输入参数的函数。再次只使用在这种形式化中的可获得的语法变换，可以获得所谓的不动点组合子(其中最著名的是 Y 组合子)；通过定义，它们有如下性质，对于所有函数 f 都有 f(Y(f)) = Y(f)。
要公式化这样一种指称语义，首先会尝试为 lambda 演算构造一个模型，在其中为每个 lambda 项关联上一个真正的(全)函数。这样一种模型将形式化作为纯语法系统的 lambda 演算和作为操纵具体的数学函数的符号系统的 lambda 演算之间的连接。不幸的是，这种模型不能存在，如果存在，它必须包含对应于组合子 Y 的一个真正的全函数，它是计算任意输入函数 f 的不动点的函数。不能给予 Y 这样的函数，因为某些函数(比如“后继函数”)没有不动点。这个对应于 Y 的真正函数至少必须是偏函数，对于某些输入必须是未定义的。
除了这些需要的性质，域理论还允许吸引人的直觉释义。同上所述，计算的域总是部分有序的。这种排序表示信息或知识的层次。元素在这个次序上越高，它就更加明确和包含更多的信息。更低的元素表示不完全的知识或中间结果。
接着通过在这个域上重复的应用单调函数来精制出结果。到达一个不动点等价于完成一个计算。域为这些想法提供了优越的设施，因为可以保证单调函数的不动点的存在，并且在额外的限制下，可以从下面逼近。