对任意，如果，则必然；

对任意，可以选择，使得。

就说B 是向量空间 的一组基。第二个条件中，将一个向量表示成的形式，称为向量 v在基底 下的分解。称为向量v在基底B下的分量表示。

有有限基的向量空间叫做有限维的空间。要处理无限维的空间，必须把上述基的定义推广为包括无限的基集合。如果向量空间V的一个子集 (有限或无限B满足：

它的所有有限子集满足上面的第一个条件（即线性无关）；

对任意，可以选择，以及，使得。

就称B是无限维空间 的一组基。

没有装备拓扑结构的向量空间的结构不足以谈论向量的无限和，因此上述定义只包括对有限个向量求和。

设B是向量空间 的子集。则B是基，当且仅当满足了下列任一条件：

是B的极小生成集，就是说只有B能生成 ，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。

B是 中线性无关向量的极大集合，就是说B在 中是线性无关集合，而且 中没有其他线性无关集合包含它作为真子集。

中所有的向量都可以按唯一的方式表达为B中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

如果承认良序定理或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。

如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果L是在向量空间 中的一个线性无关集合而集合G是一个包含L而且能够生成 的集合，则存在 的一组基B，它包含了L而且是G的子集：。

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那幺元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将： 写成有序向量组： 。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。

设 是在域F上的n维向量空间。在 上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间到 的一个选定线性同构。

证明：这个证明利用了的标准基是有序基的事实。

首先假设

是线性同构。可以定V的一组有序基如下：

其中的是的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射

这里的x=x1e1+x2e2+ ... +xnen是F的一个元素。不难检查出φ是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构F→V。

确定自有序基{vi}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标：如果对于向量v∈V,φ(v) = (a1,a2,...,an) ∈F，则aj=aj(v)的分量是v的坐标，在v=a1(v)v1+a2(v)v2+ ... +an(v)vn的意义上。

从向量v到分量aj(v)的映射是从V到F的线性映射，因为φ是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的对偶空间的基，叫做对偶基。