更新时间:2023-02-07 17:37
在线性代数中,基(basis)(也称为基底)是描述、刻画向量空间的基本工具。向量空间的基是它的一个特殊的子集,基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元素,都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限,就称向量空间为有限维向量空间,将元素的个数称作向量空间的维数。
使用基底可以便利地描述向量空间。比如说,考察从一个向量空间 射出的线性变换f,可以查看这个变换作用在向量空间的一组基 上的效果。掌握了 ,就等于掌握了 f对 中任意元素的效果。
不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。如果承认选择公理,那么可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组,但同一个空间的两组不同的基,它们的元素个数或势(当元素个数是无限的时候)是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的;反之,如果向量空间拥有一组基,那么在向量空间中取一组线性无关的向量,一定能将它扩充为一组基。在内积向量空间中,可以定义正交的概念。通过特别的方法,可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。
更详细来说,设是在系数域F(比如实数域R或复数域C)上的向量空间V的有限子集。如果 满足下列条件:
对任意,如果,则必然;
对任意,可以选择,使得。
就说B 是向量空间 的一组基。第二个条件中,将一个向量表示成的形式,称为向量 v在基底 下的分解。称为向量v在基底B下的分量表示。
有有限基的向量空间叫做有限维的空间。要处理无限维的空间,必须把上述基的定义推广为包括无限的基集合。如果向量空间V的一个子集 (有限或无限B满足:
它的所有有限子集满足上面的第一个条件(即线性无关);
对任意,可以选择,以及,使得。
就称B是无限维空间 的一组基。
没有装备拓扑结构的向量空间的结构不足以谈论向量的无限和,因此上述定义只包括对有限个向量求和。
设B是向量空间 的子集。则B是基,当且仅当满足了下列任一条件:
是B的极小生成集,就是说只有B能生成 ,而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
B是 中线性无关向量的极大集合,就是说B在 中是线性无关集合,而且 中没有其他线性无关集合包含它作为真子集。
中所有的向量都可以按唯一的方式表达为B中向量的线性组合。如果基是有序的,则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。
如果承认良序定理或任何选择公理的等价物,那么作为推论,可以证明任何的向量空间都拥有一组基。(证明:良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基)。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势(元素个数),叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理,它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。
如上所述,一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合,同时也是极小的生成集合。可以证明,如果向量空间拥有一组基,那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基(也称为基的扩充定理),每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地,在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说:如果L是在向量空间 中的一个线性无关集合而集合G是一个包含L而且能够生成 的集合,则存在 的一组基B,它包含了L而且是G的子集:。
以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度,证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的,而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度(有限维),那么这个集合的元素个数必须等于维数,才可能是它的基。在两者相等时,只需要证明这个集合线性无关,或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基;而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数,需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理,能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集;但假如这个子集是真子集,那幺元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数,也就是基的元素个数,这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。
基底是作为向量空间的子集定义的,其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论,通常会将基向量进行排列。比如说将: 写成有序向量组: 。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中,都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下,任意的向量都可以用确定的数组表示,称为向量的坐标。例如,在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标,这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下,有序基可以看作是向量空间的坐标架。
设 是在域F上的n维向量空间。在 上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间到 的一个选定线性同构。
证明:这个证明利用了的标准基是有序基的事实。
首先假设
是线性同构。可以定V的一组有序基如下:
其中的是的标准基。
反过来说,给定一个有序基,考虑如下定义的映射
这里的x=x1e1+x2e2+ ... +xnen是F的一个元素。不难检查出φ是线性同构。
这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构F→V。
确定自有序基{vi}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标:如果对于向量v∈V,φ(v) = (a1,a2,...,an) ∈F,则aj=aj(v)的分量是v的坐标,在v=a1(v)v1+a2(v)v2+ ... +an(v)vn的意义上。
从向量v到分量aj(v)的映射是从V到F的线性映射,因为φ是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的对偶空间的基,叫做对偶基。