更新时间：2024-05-21 12:58
复频域分析法，采用拉普拉斯变换的分析方法，即s域分析，是研究线性非时变动态电路的基本工具。
z变换是离散系统的复频域分析法。它是对于n﹤0为零的离散序列（所谓“右边序列”）x(n)通过关系式
∞
X(z)=Σ x(n)z(-n)
n=0
(其中（-n）为z的幂次，下同)变换为复变量z=ρejω的函数X（z）。它就是时间序列x(n)的“复频域”表示方式。 从中看出，对于“右边序列”，ρ愈大时愈有利于z变换的收敛。z变换的收敛区为以ρ0为半径的圆的外部。ρ0就被称之为“收敛半径”。不难看出，有限长序列，t=0时方出现的直流、正弦波或周期序列，指数序列an,其收敛半径分别为0,1及a 。
用z变换很容易进行离散系统的复频域分析。为此，首先将给定的激励序列x（n）按照上述的z变换公式变换为它的z变换X（z）；然后通过将系统的差分方程或冲激响应进行z变换，求出该系统的传递函数H（z），于是系统零状态响应的z变换就是激励的z变换与传递函数的乘积，即
Y(z)=X(z)H(z)
最后将Y（z）进行“z反变换”之后，就得到响应的离散序列y(n).实际上，在“复频域”中两个z变换的乘积，对应于“时间域”中两个离散序列的卷积。例如设系统的激励及冲激响应分别为
x(n)=h(n)=1, 0≤n≤2
=0, 其余
则可求出激励的z变换及系统的传递函数为
X（z）=H(z)=1+z(-1)+z(-2)
于是响应的z变换
Y（z）=X(z)H(z)=(1+z(-1)+z(-2))2
=1+2z(-1)+3z(-2)+2z(-3)+z(-4)
相应的离散序列
y(n)=n+1, n=0,1,2
=5-n, n=3,4
=0, 其余
与在时域中用离散卷积得出的结果相同。
5-5 线性系统复频域分析法
下面以线性电路系统为例来研究线性系统的复频域分析方法。由于复频域形式的KCL,KVL，欧姆定律，在形式上与相量形式的KCL,KVL，欧姆定律全同，因此关于电路频域分析的各种方法(节点法、割集法、网孔法、回路法)、各种定理(齐次定理、叠加定理、等效电源定理、替代定理、互易定理等)以及电路的各种等效变换方法与原则，均适用于复频域电路的分析，只是此时必须在复频域中进行，所有电量用相应的像函数表示，各无源支路用复频域阻抗或复频域导纳代替，但相应的运算仍为复数运算。其一般步骤如下：
(1) 根据换路前的电路(即t＜0时的电路)求 时刻电感的初始电流 和电容的初始电压 ；
(2) 求电路激励(电源)的拉普拉斯变换(即像函数)；
(3) 画出换路后电路(即t＞0时的电路)的复频域电路模型；
(4) 应用节点法、割集法、网孔法、回路法及电路的各种等效变换、电路定理等，对复频域电路模型列写KCL，KVL方程组，并求解此方程组，从而求得全响应解的像函数；
(5) 对所求得的全响应解的像函数进行拉普拉斯反变换，即得时域中的全响应解，并画出其波形。
例5-11 图5-10(a)所示电路， , ， ，
零输入响应 。
图5-10
解：因只求零输入响应，故应使激励源 ，进而可画出求零输入响应的s域电路模型，如图5-10(b)所示。故可列出两个独立节点的KCL方程为
将已知数据代入并整理求解，即得
查表5-2中序号12，13的公式，即得
例5-12 图5-11(a)所示电路， , ， , ， ， ， 。求全响应 。
图5-11
解：该电路的s域电路模型如图5-11(b)所示。其中 ， 。故可列出独立节点的KCL方程为
联立求解并化简，即得
故得
故得
例5-13 图5-12(a)所示电路，已知t0时开关K两端的电压 。已知 , , , ， 。
解：因t＜0时K闭合，电路已工作于稳态，且电路中作用的是直流电压源Us，故此时电感L相当于短路，电容C相当于开路。故有
于是可作出t＞0时的复频域电路模型，如图5-12(b)所示，进而可写出网孔回路的KVL方程为
将已知数据代入并求解即得
又
故得
图5-12
例5-14 图513(a)所示电路，求零状态响应 。
图5-13
解：因有 ， ，故得复频域电路模型如图5-13(b)所示，进而可列出独立节点的KCL方程为
解之得
故得
例5-15 图5-14(a)所示电路。已知 , , , 。今于t=0时刻闭合K，求t＞0时的响应 , , , , ，并画出波形。
图5-14
解：t＞0时的s域电路模型如图5-14(b)所示，进而可列出独立节点的KCL方程为
代入数据解得
故得
又有
故
即
故
故得
又
故得
又
故得
可以验证有
。
也可以用以下方法求 , ,, , 。从图5-14(a)可看出有
故
其波形如图5-14(c),(d),(e)所示。可见 和 中出现了冲激，这是因为在电路的换路瞬间(即t=0时刻)， , ,上的电压 , 发生了突变。
例5-16 图5-15(a)所示电路。已知K打开时 ， , , 。今于t=0时刻闭合K。 求t＞0时的响应 , ，并画出波形。
解：K打开时的时域等效电路如图5-15(b)所示。 t＞0时的s域电路模型如图5-15(c)所示。
式中， 。
故得
又
其波形如图5-15(d),(e)所示。
图5-15
例5-17 图5-16(a)所示电路， 为响应。(1)、 求单位冲激响应 ；(2) 、求电路的初始状态 , ，以使电路的零输入响应 ; (3)、 求电路的初始状态 ， ，以使电路对 的全响应 仍为 。
解：(1) 、该电路在单位冲激 激励下的s域电路模型如图516(b)所示，其中 ， 。故得
经拉普拉斯反变换得
图5-16
(2)、 在零输入条件下电路的s域模型如图5-16(c)所示。故得
依题意要求，应使 ，即
故得
即
故有
故得 。
(3) 当激励 时， ，其s域电路模型如图5-16(d)所示。故得
按题意要求，应使 。即
故有
即
即
故有
故得 ， 。
例5-18 图5-17(a)所示电路，以 为响应。(1) 求单位冲激响应 ； (2) 已知 , ，求全响应 。
图5-17
解：(1)、 时的s域电路模型如图5-17(b)所示，其中 。故得
故得
(2) 、此时的s域电路模型如图5-17(c)所示。故得
故得
的波形如图5-17(d)所示。