失踪的正方形

更新时间:2023-02-19 21:47

失踪的正方形谜题是一种用于数学课的视觉错觉,有助于学生对几何图形的思考。它描述了四个几何图形的两种不同组合,都是13乘5的三角形,不过第二种拼法少了一个1×1的正方形

解析

这谜题的关键是实际上,这不是两个三角形,而是两个凹四边形。目测不容易察觉到红色和蓝色三角形斜边的斜率有差别。 因此误以为两个组合成的图形都是三角形。(也就是说:红色三角形与蓝色三角形的斜边并不在同一直线上)

四个图形(黄色、红色、蓝色和绿色图形)总共占32个单位面积,但是外面总三角形是宽13高5,合计32.5单位。蓝色三角形长宽比为5:2,红色三角则是8:3,并且这些不是同一个长宽比。因此在每个图中外观上加成后的斜边实际上缩短了。

总共缩短的长度大约是一单位的28分之一,这在此谜题示例图上很难以看出。注意在蓝色红色斜边交界处的网格点,如果将它与另一张图的对应交界点比较,边缘稍稍溢出或者低于格点。来自两张图重叠后溢出的斜边导致一个非常细微的平行四边形,占据了刚好一格大小的面积,恰恰是第二张图“消失”的区域。

根据美国业余数学大师马丁·加德纳指出,本谜题是在1953年是由纽约市业余魔术师保罗·嘉理(Paul Curry)发明的。不过裁切悖论的原理自从1860年代就已为数学家所知了。

谜题里描述组成图形的整数域(2, 3, 5, 8, 13)是连续的斐波那契数。 许多其他几何裁切谜题皆根据著名斐波那契数列的许多简单的特质。这正是斜率的误差!

应用

本谜题另类且较简单的版本(在动画里显示)使用四个相等的四边形以及一个小正方形,则组成一个较大的正方形。当四边形绕着其中心旋转,中间的小正方形将被填满,即使该图的总面积看起来没有变动。这外表上的悖论可由新形成的方形四边较原来的小了一点。

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