概念解析

奇异上同调(singular cohomology)一种上同调群.设(X,A)是空间偶，G是任意交换群.记C(X,A)表示(X,A)的奇异链复形.定义(X,A)的系数在G中的q维奇异上链群

CY(X,A;C)=Hom(C4(X,A) ,G)，

这里Hom(CQ(X,A),G)表示群C,,(X,A)到G的全体同态之集，它依照以G中诱导的二元运算成为一个交换群;上边缘算子

占:( % (A;G)~CY+1(X,A;G)

定义为C(X,A)中边缘算子的对偶.即对于

于是，{C4(X,A;G),qEZ是一个链复形，其q维同调群称为(X,A)的系数在G中的q维奇异上同调群，记为Hq(X,A;G).系数在交换群G中的奇异上同调满足系数在交换群G中的上同调理论的所有公理.与奇异同调理论类似，奇异上同调理论也是将每个拓扑空间(偶)联系上一系列交换群，称为上同调群.从纯代数观点看，它的引人似乎更为自然.上同调理论可用于研究流形上的微分形式.此外，当系数群是一个有单位元的交换环时，上同调群上有一种自然的环结构，即上同调环，这是同调群上所没有的.