求完美长方体的棱长，即求下列方程组：

a^2+b^2=d^2

b^2+c^2=e^2

c^2+a^2=f^2

a^2+b^2+c^2=g^2

注：a、b、c是棱长，d、e、f是面对角线长，g是体对角线长。

它相当于在欧拉长方体问题上再添上了最后的这个条件。

截止2007年10月，还没有找到任何完美长方体，亦未有人证明完美长方体不存在。若存在完美长方体，最小的完美长方体的奇数棱长不少于2.1 ×10^10。

整个实数整数，其实是从勾股定理引入了0，即a*a+b*b+0*0=g*g,将0进行变化，顺应d e f也是非零整数

另一种完美长方体，即由实数扩展到 高斯整数。高斯整数（gaussian integer）是实数部分（实部）和虚数部分（虚部）都是整数的复数。 实数的完美长方体不存在，高斯整数的完美长方体还是未知数；对我而言。整个勾股定理，不管是实数还是高斯整数都是有规律的，可以从小到大排列。20多年来未找到同伴。实数的完美长方体很大可能性也是这个规律；高斯整数的的完美长方体，有部分是这个规律，还有部分不是这个规律。