假设五：假设个别客户有购买行为的各期平均单次购买金额为伽玛分配(Gamma Distribution)。

假设六：考虑客户的异质性，假设上述各期平均单次购买金额又符合另一个伽玛分配(Gamma Distribution)。

观察随机模型

曲线形状均由其参数a、b、p、q、k决定。

频率概率符合负二项分配，参数a、b由客户的平均购买频率计算出来。假设有一组样本，对应n家成交客户，fi(i = 1, 2 … n)【样本长度为n】表示每家客户的平均购买次数，通过最大概似估计法可求得a、b，并且可求得平均频率 = b/a。频率模型为离散函数，f＞0，频率平均值=ceil(b/a)=ceil(2.67/1.84)=2。示例的无成交概率P(0)≈31%，意味着其余有成交概率之和ΣP(i)≈69%，其中P(1)≈30%(峰值)，P(2)≈19%，P(3)≈10%。

平均金额概率符合伽玛-伽玛分配，参数p、q、k由客户的平均购买金额计算出来。假设共有n家客户【样本长度为n】，且每家客户有发生购买行为的期数分别为hk(k=1, 2 … n)【样本宽度分别为hk】，每家客户有发生购买行为期间的该期平均单次购买金额为mi,j(i=1, 2, … n, j=1, 2, … hi)，通过最大概似估计法可求得p、q、k，并且可求得对应峰值概率的平均金额 = (p-1)/(q+1)*k。平均金额m的概率分配为连续函数，m＞0，p、q为形状参数，k为尺度参数。示例的峰值概率位于m=9646.96，P(9646.96)=0.00003323598657260607。

从上面随机模型中已经可以初步观察到购买频率、平均金额的概率密度分配。

推导购买频率、平均金额移转期望值

以平均金额为例，观察以下图形：

图3

蓝色的就是平均金额概率曲线，紫色的是m轴每个mi坐标乘以对应蓝色概率pi得到的新曲线。换句话说，紫色包络线上每个点的值都是蓝色包络线对应点的mi倍。

在上图任意位置mi作条垂线，垂线至m=500,000.00(假设此为历史最大平均金额)之间，紫色面积除以蓝色面积，结果就是mi的状态移转期望值。可对m设定一些刻度，如0.01、1,000.00、10,000.00、100,000.00、200,000.00、300,000.00、400,000.00，即可得到这些刻度的对应的平均金额移转期望值。

用积分表达式描述就是：平均金额移转期望值 = ∫紫色曲线函数dm / ∫蓝色曲线函数dm，积分区间由mi到500,000.00。

购买频率移转期望值也类似，只是频率概率为离散函数。

推导购买频率、平均金额移转概率

平均金额由m1移转到m2的移转概率记作fm(m2 | a1≤m1)

与推导移转期望值相似，当期望值m2分别等于0.01、1,000.00、10,000.00、100,000.00、200,000.00、300,000.00、400,000.00时，也可用下图的a1至b1之间的绿色面积除以对应的蓝色面积来推到平均金额的移转概率。

图5

图5中的蓝色曲线就是图2的平均金额概率函数。绿色曲线就不是平均金额概率pi去乘以m坐标轴的每个对应mi，而是去乘以另一个贝氏事后机率密度函数，这个函数是{[Γ(2p+q) * m2p-1 * (k+m1)p+q] / [Γ(p) * Γ(p+q) * (m2+m1+k)2p+q]}，它是通过由果导因的方法获得。

当m2分别等于0.01, 1,000.00, … 400,000.00时，就得到图5的不同图形。当m2等于某值时，用m轴a1至b1之间的绿色面积除以对应的蓝色面积就得到平均金额移转概率fm(m2 | a1≤m1) 用积分表达式就是： fm(m2 | a1≤m1)。其中H = ∫a1b1[Γ(2p+q) * m2p-1 * (k+m1)p+q] / [Γ(p) * Γ(p+q) * (m2+m1+k)2p+q] * [P(m1 | p,q,k)] dm1

其中L = ∫a1b1[P(m | p,q,k)] dm。

而实际上m2也是一个连续变量，从a1≤m1 fm(a2≤m2) 类似地，也使用贝氏机率方法推导频率移转概率，马可夫链中的r1值(无成交期数)、频率随机模型中的信任区间也是两个重要计算因素。

移转期望值及移转概率计算

针对上述举例，移转期望值及移转概率的推导结果如下：

某客户下期的购买金额 = (该客户的)下期频率 * 下期平均金额 * 下期频率概率 * 下期平均金额概率

CRM毛利 = 购买金额 - 产品成本 - 关系营销费用。

RFM只预测客户下期的购买金额，RFM并不预测下期的毛利率和费用。对个别客户以往的毛利率、费用采取平均法或移动平均法，应用于下期，该推断显然不合适；采取如RFM的概率分析方法去推断下期毛利率和费用也不合适，因为这两者并不是源自客户(或企业、员工)的随机行为，而更是源自企业总体成本控制和差别应对。

【销售毛利率、关系营销费用的五个基本假设】

假设1：假设销售毛利率和关系营销费用是两个不同的控制纬度，不具有相关性。 假设2：假设个别客户下期的销售毛利率最接近该客户有成交上期的毛利率。 假设3：假设个别客户上期、下期之间存在无交易期数，则下期销售毛利率的升、降，服从该客户在无交易期间的企业整体毛利率的拟合回归规律。 假设4：假设个别客户下期的关系营销费用服从该客户以往的费用、购买金额比例，即服从关系营销投入产出比。 假设5：假设个别客户下期可能存在一个最小关系营销费用基数，它相当于该客户以往各期费用中的最低值。

下期产品成本

下期产品成本 = 下期购买金额 * (1 - 下期销售毛利率)

如果某客户上、下期之间无交易期数为0，则下期毛利率 = 上期毛利率。上期指有成交的最近一期。

如果某客户上、下期之间无交易期数为r1 (r1＞0)，则下期毛利率 = 上期毛利率 * (1 + Δ)。其中Δ = (上期至r1=0期之间的)线性回归方程的斜率 * r1 / 2，用Δ对毛利率进行微调。之所以采用线性拟合回归，是因为决定系数R2在这里并不重要，这仅是求得无交易期间的企业整体毛利率升、降趋势，并且不是用拟合回归方程本身去预测下期毛利率。

图6

下期关系营销费用

定义：Ratei = Σ客户i以往费用 / Σ客户i以往购买金额

Expensei = 客户i以往各期中最小的那期费用(大于0)

Monetaryi = 客户i下期购买金额

Xi = Monetaryi * Ratei

如果Xi ＞ Expensei，则下期费用 = Xi；

否则如果Monetaryi ＜ Expensei，则下期费用 = Xi；

否则，下期费用 = Expensei

对下期的毛利率和费用还可手工修正

用SynleadCRM分析客户价值时，选项“提取产品成本”表示提取以往产品成本并推算今后几期的产品成本，选项“提取费用”表示提取以往关系营销费用并推算今后几期的关系营销费用。前面提到，产品成本和关系营销费用属于企业总体成本控制和差别应对，其未来变化不一定按趋势平滑，可能下期个别客户或整体客户群的情况出现逆反或抖动。依据研究人员自身的判断，在SynleadCRM中对下期的毛利率和费用还可手工个别/批量地调整、修正。

另一方面，也可能出现少许产品成本、费用数据没有及时填写进CRM系统，例如“机会-产品”中未及时填写或更新产品/销售价/成本价，造成统计时产品成本=0.00、毛利率=100%；或者极特殊的数据没有排除，例如上期毛利率为负值。该情况也需要对个别客户的下期毛利率进行手工修正。

客户价值 = CRM毛利 = 购买金额 - 产品成本 - 关系营销费用。在完整客户关系生命周期内(从建立关系到未流失的最近一期)，分析客户今后价值的意义远远大于分析客户历史价值，因此通常所讲的客户价值分析是对客户今后的价值进行分析。

SynleadCRM分析客户今后三期价值的同时，也向研究人员展示客户的历史价值作为参照。

客户价值分析，是企业决策最重要的依据之一，请做好企业的客户价值分析，正确指引商务运营。