W.莱布尼兹相同的函数定义。1718年雅克·贝努利的弟弟约翰·贝努利给出了函数的如下定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数。后来约翰·贝努利的学生欧拉把函数定义又推进了一步，使之更加明朗化。他把凡是可以给出“解析式表示”的，通称为函数。这里的“解析式”包括多项式、对数式，三角式乃至幂级数。并且于1734年采用了通用的记号f(x)来表示函数。后来，由于对于一个函数表达方式是否唯一的问题，在不断的争议中逐渐澄清，法国数学家柯西又引入了新的函数定义：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为“自变数”，其他各变数则称为“函数”。到了19世纪德国数学家黎曼给出了函数的下述定义：对于x的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数。另一个德国数学家狄利克雷也于1837年给出一个新的函数定义：对a≤x≤b之间的每一个x值，y总有完全确定的值与之对应，不论这一对应是用什么方法建立的，总可以把y称为x的函数。这两个定义都彻底抛弃了以前定义中解析式的束缚，特别突出了函数概念的本质——对应思想。

变分法中研究的主要泛函。形如：

的泛函J(u)称为变分积分，函数F(x，z，p)称为变分被积函数或拉格朗日函数。Ω是R中的区域，z=(z1，z2，…，zN)∈RN，p=(piα)=(p11，p12，…，p1n，…，pN1，pN2，…，pNn)∈R表示函数u对各自变量的偏导数，以下各词条中的记号J(u)均表示这一积分。这里u也可以是向量值函数，当u是一元数量函数时，则用y表示，J(u)记为J(y)，并称为最简变分积分。

亦称变分学，研究泛函极值的一门学科。变分法主要研究泛函的变元函数使泛函达到极值的必要条件和充分条件，并研究求得该变元函数的方法及其性质。变分法的研究方法有直接法与间接法。直接法是直接由泛函去求得极值或判断相应极值问题是否有解；而间接法是先给出泛函达到极值的必要条件：欧拉-拉格朗日方程(亦称为欧拉方程)，然后在满足欧拉-拉格朗日方程的解中，利用各种充分条件来判断变分问题是否有解。

变分法的历史可追溯到古希腊，那时就有了所谓等周问题：在长度一定的封闭曲线中，找出围出最大面积的一条封闭曲线。另一著名的问题即最速落径问题是由伽利略(Galilei，G.)首先提出的。但对变分法实质性研究还是从1696年，约翰第一·伯努利(Bernoulli，Johann Ⅰ)公开向欧洲数学家给出该问题的解开始，洛必达(L'Hospital，G.-F.-A.de)、雅可比(Jacobi，C.G.J.)、约翰第一·伯努利、莱布尼茨(Leibniz，G.W.)、牛顿(Newton，I.)用了不同的方法解决了这个问题。后来欧拉(Euler，L.)和拉格朗日(Lagrange，J.-L.)对这一类问题的研究奠定了变分法的理论基础。变分法这一名词由拉格朗日首次提出来，一直沿用下来。

人们研究变分法，是因为社会和自然诸多领域都存在变分原理的实际背景。社会追求效益，投入一定时，希望产出最大；或产出一定时，希望投入最小。某些现象中，自然也依最简单最有效的方式运行。牛顿在《自然哲学的数学原理》中写到：“自然不做任何徒劳无益的事情，浪费愈多，服务愈少。自然喜欢简单性而不为浮华所动”。现代科学早期就依最优原理表达某些自然规律。这一原理看来在一定程度上反映了宇宙的先验的和谐性，特别吸引那些为知识的统一性和简单性而奋斗的科学家。事实上，确实有许多自然规律可用极值原理来表达。第一个发现这种类型的原理是公元前100年，亚历山大的海伦(Heron，(A))提出的，他用光总走最短路径解释光的反射定律。1662年，费马(Fermat，P.de)从光总是依最快的路径从一点传播到另一点这一假设推导出光折射定律。这一假设称为费马原理。大约80年后，莫佩蒂(Maupertuis，P.-L.M.de，普鲁士科学院院长)断言，如果自然发生了什么变化，那么对这一变化所付出的作用量必然是最小的。莱布尼茨对作用引进量纲是“能量×时间”，按照普朗克(Planck，M.)的量子原理(1900年)，这个量是基本量子h的整数倍。在莫佩蒂的著述中，作用原理含糊不清，不十分令人信服，受到伏尔泰(Voltaire)的无情嘲讽。这或许使得拉格朗日将1788年的“分析力学”建立在达朗贝尔原理的基础上而非最小作用原理的基础上，尽管他早在1760年对这一原理已有了相当明确的一般数学提法。很晚以后，哈密顿(Hamilton，W.R.)和雅可比才给这一原理以令人满意的形式，大概是亥姆霍兹(Helmholtz，H.von)把它提高到最普遍的物理规律的行列。20世纪前半期，物理学家主要热衷于用空间时间微分方程描述自然规律，最小作用原理又明显回潮。