更新时间：2024-10-11 21:18
对数公式是数学中的一种常见公式，如果ax=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数,记做x=logaN，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。通常以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。
① ；
② ；
③负数与零无对数.
④；
⑤；
alogaN=N (a>0 ，a≠1）推导：logaaN=N恒等式证明
在a>0且a≠1，N>0时
设：当logaN=t，满足(t∈R)
则有at=N;
alogaN=at=N;
证明完毕
①
②
③
④
(M,N∈R+)
如果 ，则m为数a的自然对数，即 ，e=2.718281828…为自然对数
的底，其为无限不循环小数。定义： 若 则
基本性质：
1、
2、
3、
4、
5、
6、
推导：
1、因为 ，代入则 ，即 。
2、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
由指数的性质
3、与（2）类似处理 M/N=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数，所以
4、与（2）类似处理
由基本性质1(换掉M)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数，所以
或
由基本性质2（展开 ，如图1所示）
基本性质4推广
推导如下： 由换底公式（见下面）[ 是 ，e称作自然对数的底]
换底公式的推导： 设 则
其中
得：
由基本性质4可得
再由换底公式
推导一：
设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn) ①
对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m ②
对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn ③
③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)
推导二：
注：log(a)(b)表示以a为底b的对数。
换底公式拓展：
以e为底数和以a为底数的公式代换：
logae=1/（lna）
log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)
loga(b)*logb(a)=1
loge(x)=ln(x)
lg(x)=log10(x)
(xlogax)'=logax+1/lna
其中，logax中的a为底数，x为真数；
(logax)'=1/xlna
特殊的即a=e时有
(logex)'=(lnx)'=1/x