解释

具有对称核的第二种弗雷德霍姆积分方程

(1)称为对称核积分方程，或简称对称方程。对称核的一切特征值都是实的。不同的特征值所对应的特征函数是正交的。对称核的特征值是可列的。对应于每个特征值的线性无关的特征函数是有限的，因此，可就对应于同一个特征值的最大个数的线性无关特征函数进行正交标准化，从而，线性无关的特征函数的全体构成一个正交标准的特征函数序列。为了方便，通常规定一个特征值仅对应于一个特征函数（若某一特征值对应于n个线性无关的特征函数，则视该特征值有n个）。于是可按特征值的绝对值大小排列：与之相应的正交标准的特征函数序列为　

(2)对称核K(x，y)的特征函数序列(2)也是K(x，y)的任意m次叠核Km(x，y)的特征函数序列。Km(x，y)的一切特征值所成之集与K(x，y)的一切特征值的m次乘幂组成之集相同。D.希尔伯特和E.施密特证明了关于对称方程的一个基本定理，即每个非零的对称核至少有一个特征值。设，记，则对称核最小特征值λ1的绝对值的倒数等于？的绝对值｜?｜在条件(φ，φ)=1下的极大值，且当特征函数φ1(x)与最小特征值λ1对应时，有。类似地，有，其中φ还同时满足(φ，φm)=0，m=1，2，…，i-1。应用这个定理可以求特征值的近似值，如常用的里斯方法即以此为根据。设λ1，λ2…是对称核K(x，y)的一切特征值，φ1(x)，φ2(x)，…是相应的正交标准的特征函数序列，h(x)是[α，b]上平方绝对可积的函数，而且积分关于x均匀有界，则函数可按正交标准的特征函数序列{φi(x)}展成为绝对一致收敛的级数：，式中。