更新时间：2024-05-21 17:28
拓扑空间X上的一个层F对于X的每个开集给出一个集合或者一个更丰富的结构F(U)。这个结构F(U)和把开集限制到更小的子集的操作相容，并且可以把小的开集粘起来得到更大的。事实上，层使得我们可以用一种细致的方式讨论什么是局部性质，就像应用在函数上的层。
给定预层F，若有正合列，即p0为单态射，且为p1与p2的等化子，则称F是层。
层是X上的预层，且满足以下条件：
1.若U上瓣s在开覆盖中任意Vi上的限制均为s|Vi=0，则s=0；
2.若开覆盖上瓣{sVi}与Vi选取无关，则存在唯一U上瓣s，使得s|Vi=si。
设X为拓扑空间，Open(X)为X所有开子集U构成的集，包含定义的排序为偏序，故构成范畴。设𝕮(U)为由所有连续实值函数h:U→ℝ构成的集，V∈Ob(Open(X)），且V⊆U，h↦h|V将h限制在子集V上，相当于函数𝕮(U)→𝕮(V)。这使得𝕮为从Open(X)到Set的反变函子，称为X上连续函数芽的层。
设X是域k上的簇。对X的每个开集U，𝓞(U)表示U到k的正则函数环，对每个V⊆U，ρUV:𝓞(U)→𝓞(V)是限制映射，则𝓞是X的环层，称为X的正则函数层。用同样的方法可以定义拓扑空间上的连续实值函数层，或者微分流形上的可微函数层，或者复流形上的全纯函数层。
设X为拓扑空间，A是阿贝尔群。赋予A离散拓扑，并对于X中所有开集U，令是U到A的所有连续映射的群。用通常的限制映射，即得到层，称为常值层。
设素谱Spec A为环A的所有素理想的集合，对Spec A中开集U，定义𝓞(U)为s:的集合，其中对每个𝔭，满足，且s局部地是A中元的商。确切地说，需要在U中存在𝔭的邻域V和A的元a,f，使得对每个而。
作为一个典型的例子，考虑拓扑空间X,对于每个X中的开集U，令F(U)为所有连续函数U→R的集合。如果V是U的开子集，则U上的函数可以限制到V上，而我们得倒映射F(U) →F(VUi是给定的开集其并为U，对于每个i我们给定一个元素fi∈F(Ui)，一个连续函数fi:Ui→R。如果这些函数在重合的地方相等，则我们可以一种唯一的方式把他们粘起来得倒一个连续函数f:U→R，它和所有给定的函数fi一致。所有集合F(U)的类和限制映射F(U) →F(V)成为一个X上的集合的层。进一步的，每个F(U)是一个交换环，而限制映射是环同态，这使F成为X上的环的层。
作为很相似的例子，考虑一个微分流形X，对于X的每个开集U，令F(U)为所有可微函数U→R的集合。这里同样的有粘合，并且我们得倒X上的环的层。另一个X上的层是，对于X的每个开集U给定所有定义在U上的可微向量场的向量空间。限制和粘合向量场和函数上的操作一样，然后我们得倒流形X上的向量空间的层。
层一般不是豪斯多夫空间。
拓扑空间X上的一个层(或译束、捆)F对于X的每个开集给出一个集合或者一个更丰富的结构F(U)。这个结构F(U)和把开集限制到更小的子集的操作相容，并且可以把小的开集粘起来得到更大的。一个预层和一个层相似，但它可能不可以粘起来。事实上，层使得我们可以用一种细致的方式讨论什么是局部性质，就像应用在函数上的层。
层用于拓扑，代数几何和微分几何，只要想跟踪给定的几何空间的随着每个开集变化的代数数据，就可以用层。他们是研究局部有变化(依赖于所选开集的)的对象的全局工具。这样，它们是研究有局部本质的实体的全局行为的自然工具，例如开集，解析函数，流形，等等。