差分格式

更新时间:2022-09-24 10:46

差分格式是数值计算方法中微分以及偏微分导数的一种离散化方法,即用相邻两个或者多个数值点的差分取代偏微分方程中导数或者偏导数的一种算法。 选择差分格式是离散化偏微分方程的第一步。

差分格式简介

对二阶常微分方程边值问题:

(1)

。 (2)

式中,q,f 为 [a,b] 上的连续函数, 为给定常数。这是最简单的椭圆型方程边值问题。

将区间 [a,b] 分成 N 等分,分点为 ,其中 称为步长, 称为网格的节点。于是,得到区间 [a,b] 上的一个网格剖分。

现在将方程 (1) 在节点 离散化。为此,对充分光滑的解 u,由泰勒展式得

(3)

其中 表示方括号内的函数 在 点取值。于是在 可将方程 (1) 写成

(4)

其中 (5)

显然,当 h 足够小的时候, 是 h 的二阶无穷小量,若舍去 则得到逼近方程(1)的差分方程:

(6)

式中 ,称 为差分方程(6)的截断误差。利用差分算子 ,可将(4)写成形式

(7)

而在节点 处,微分方程(1)为 ,以此与(7)相减,得

(8)

所以 是用差分算子 代替微分算子 L 所引起的截断误差,它关于 h 的阶为 。

差分方程(6)当 时成立,加上边值条件 ,就得到关于 的线性代数方程组:

(9)

(10)

它的解 是 于 的近似。

称(9)、(10)为逼近 (1)、(2) 的差分方程或差分格式。

构造方法

构造差分格式的方法有多种,如直接差分化、积分插值法、变分-插分法及待定系数法等。

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