更新时间：2022-08-25 13:20
1963年美国人帕里斯在断裂力学方法的基础上，提出了表达裂纹扩展规律的著名关系式——帕里斯公式（paris formula），给疲劳研究提供了一个估算裂纹扩展寿命的新方法，在此基础上发展出了损伤容限设计，从而使断裂力学和疲劳这两门学科逐渐结合起来。
帕里斯认为裂纹尖端的应力场强度可以用应力强度因子K1来表示，那么就只有应力强度因子才是裂纹扩展的真正推动力，所以提出了直接与应力强度因子变化范围ΔK有关的裂纹扩展公式。
当裂纹前端的ΔK>ΔKth后，裂纹开始扩展，lg(da/dN)和lg(ΔK)呈线性关系，称为疲劳裂纹扩展的第 I 阶段。
当ΔK继续增加，过来转折点B1后，进入第 II 阶段，扩展速度增长放慢，lg(da/dN)和lg(ΔK)仍是直线关系。当ΔK增大到超过第 II 阶段转折点B2，这时Kmax已接近材料的K1c，扩展速度急剧加快，直至断裂。
由于 I 、II 阶段在双对数坐标中是直线，说明da/dN和ΔK之间存在指数关系，因此，帕里斯提出了如下的裂纹扩展速率的经验公式
式中：
a —— 裂纹深度或宽度；
N —— 应力循环次数；
C、m —— 和材料有关的参数；
ΔK —— 应力强度因子变化范围。
有人为了考虑平均应力影响，将r=Kmin/Kmax（循环特性）计入，此称平均应力强度因子的影响参数。一般r增大，da/dN增大；同时考虑到Kmax趋近K1c时da/dN急剧增加的趋势，建议用下式进行计算
式中：K1c —— 断裂韧性。
也有人将Kth计入，建议用下式
此式一般适用于疲劳裂纹扩展初期。
回到帕里斯公式，试验表明，表中的材料常数C、m只有在第 II 阶段时为常数。假定第 I 阶段末，即B1点对应的裂纹长度为初始裂纹，以第 II 阶段的帕里斯公式作为寿命管理的依据。
用帕里斯公式计算裂纹扩展寿命（循环次数）时，先设一个裂纹的增量 Δa，计算相应的ΔK值，从而由帕里斯公式得ΔN1，然后在新的裂纹半长（a+ Δa）上再设一个增量 Δa，计算相应的ΔK，由公式得 ΔN2，这样一直计算到所需要的数值为止。
从帕里斯公式积分，可以估算出裂纹扩展寿命。将式（4）带入式（1），对N积分有
式中：
a0 —— 初始裂纹；
ac —— 临界裂纹。
若将F作为常数处理，在等幅应力σa作用下（m≠2），则
如果考虑F随a变化，可分段处理，取每段F的较高值（偏安全），分段积分再加起来即得总N。