更新时间：2022-08-25 14:24
幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
设 是定义在某区间I上的函数列，则表达式
(1)
称为定义在区间I上函数项级数。
如果式（1）上的各项 都是定义在区间 上的幂函数，函数项级数 (2)
称作幂级数，其中 为常数， 称为幂级数的系数。
特别的，当 =0时，幂级数式（2）变为
(3)
对于定义在区间I上的函数项级数 ,取定 ,就变成数项级数
(4)
数项级数式（4）可能收敛，也可能发散。如果数项级数式（4）是收敛的，称 为函数项级数（1）的收敛点；如果数项级数式（4）是发散的，称 为函数项级数（1）的发散点。函数项级数式（1）的所有收敛点的集合称为其收敛域，所有发散点的集合称为其发散域。
对于收敛域上的每一个数x，函数项级数（1）都是一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和。因此，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数，记作s（x），通常写成
或 。
如果 ,则幂级数 的收敛半径R：
四则运算
（1）幂级数的加法
在和中的较小区间内上式成立，收敛半径。
（2）幂级数的减法
在和中的较小区间内上式成立，收敛半径。
（3）幂级数的乘法
在和中的较小区间内上式成立，收敛半径。
(4)幂级数的除法
两个幂级数相除的结果仍是幂级数。假设时，
系数由下列等式逐一确立：
相除所得的幂级数的收敛域可能比和小得多。
幂级数的和函数的性质
性质一：幂级数的和函数s（x）在其收敛域I上连续。
性质二：幂级数的和函数s（x）在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式
逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
推论：幂级数的和函数s（x）在其收敛域内可逐项积分任意次。
性质三：幂级数的和函数s（x）在其收敛区间内可导，并有逐项求导公式
逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
推论：幂级数的和函数s（x）在其收敛区间内有任意阶导数。