更新时间:2022-08-25 14:24
幂级数,是数学分析当中重要概念之一,是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的(x-a)的n次方(n是从0开始计数的整数,a为常数)。幂级数是数学分析中的重要概念,被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
设 是定义在某区间I上的函数列,则表达式
(1)
称为定义在区间I上函数项级数。
如果式(1)上的各项 都是定义在区间 上的幂函数,函数项级数 (2)
称作幂级数,其中 为常数, 称为幂级数的系数。
特别的,当 =0时,幂级数式(2)变为
(3)
对于定义在区间I上的函数项级数 ,取定 ,就变成数项级数
(4)
数项级数式(4)可能收敛,也可能发散。如果数项级数式(4)是收敛的,称 为函数项级数(1)的收敛点;如果数项级数式(4)是发散的,称 为函数项级数(1)的发散点。函数项级数式(1)的所有收敛点的集合称为其收敛域,所有发散点的集合称为其发散域。
对于收敛域上的每一个数x,函数项级数(1)都是一个收敛的常数项级数,因而有一确定的和。因此,在收敛域上函数项级数的和是x的函数,称为函数项级数的和函数,记作s(x),通常写成
或 。
如果 ,则幂级数 的收敛半径R:
四则运算
(1)幂级数的加法
在和中的较小区间内上式成立,收敛半径。
(2)幂级数的减法
在和中的较小区间内上式成立,收敛半径。
(3)幂级数的乘法
在和中的较小区间内上式成立,收敛半径。
(4)幂级数的除法
两个幂级数相除的结果仍是幂级数。假设时,
系数由下列等式逐一确立:
相除所得的幂级数的收敛域可能比和小得多。
幂级数的和函数的性质
性质一:幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续。
性质二:幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积,并有逐项积分公式
逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
推论:幂级数的和函数s(x)在其收敛域内可逐项积分任意次。
性质三:幂级数的和函数s(x)在其收敛区间内可导,并有逐项求导公式
逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
推论:幂级数的和函数s(x)在其收敛区间内有任意阶导数。