幂集公理

更新时间:2023-08-14 19:52

数学中,幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理中的一个。这个公理说明:“对于任何一个集合A,存在着一个集合B,它的元恰是A的各个子集

基本介绍

这个公理说明:“对于任何的x,存在着一个集合y,使y的元素是而且只会是x 的子集。”换句话说:给定任何集合x,有着一个集合P(x),使得给定任何集合z,z 是P(x)的成员,当且仅当z 是x 的子集。通过外延公理可知,这个集合是唯一的。我们可以称集合P(x)为x的幂集。所以这个公理的本质是:所有集合都有一个幂集。幂集公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价者出现在所有可替代的集合论的公理化中。幂集公理允许定义两个集合X和Y的笛卡儿积:

笛卡儿积为一个集合是因为

可以递归地定义集合的任何有限的搜集的笛卡儿积:

注意,在不包含幂集公理的克里普克—布莱特集合论中,笛卡儿积的存在性是可以证明的。

相关性质定理

外延公理知,B是唯一的,并称B是A的幂集。因此有如下定义。

定义1集合B是集合A的一个幂集,当且仅当 的幂集 记作 ,便有

关于幂集的讨论,从有限集合的幂集开始。为此,先定义有限集合

定义2对于一个集合A,如果存在自然数n,使得A恰有n 个元,则称A 是有限的。

定理1若A是一个有限集合,且 令 则C的所有子集的个数恰是A 的所有子集的个数的二倍。

证明:因为对于A的每个子集,可加入B和不加入B这个元,这样便得到C的所有子集,所以C的子集个数恰是A的子集个数的两倍。

定理2对于自然数n,如果集合A恰有个n元,则 恰有 个元。

证明:用:的归纳原理加以证明。对于n,设是命题:对任意集合A,若A有n个元,则有个元。本定理证明化为:也即要证:是个归纳集,因此,

①证令,则,即20=1故有成立。

②证设,且,即若A有k个元,则已知有2n个元。今证。设B有k+1个元的集合,C∈B且则A有k个元,故有个子集,由定理1知,有子集个数是的子集个数的二倍,即有个子集。

下面给出幂集的一般性质的定理。

定理3

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

下面讨论幂集与传递集的密切关系,首先给出如下定义。

定义3对于集合A中任何集合x和y,若 且 ,则 ,称A为传递集

由定义可知, ,可见,要说明A是个传递集,只要用下面三种论述之一成立时,便可断定A是传递集:

① ,② ,③

因为它们都等价于 这个性质。

定理4对于传递集A,有 。

证明: 因为

定理5集合A是传递集当且仅当 。

定理6集合A是一个传递集当且仅当 是传递集。

定理7每个自然数是个传递集。

定理8集合 是个传递集。

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