更新时间：2024-03-31 00:51
在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。多项式的零点也就是代数方程 ζ(s)=0的根。根据代数基本定理，n次代数方程有n个根，它们可以是实根也可以是复根。因此，多项式函数有两种表示方法，即
当s为大于1的实数时，n 为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式：
但是，这样的用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s就包含非常多的信息。正如多项式的情形一样，函数的信息大部分包含在其零点的信息当中，因此， 的零点就成为大家关心的头等大事。 有两类零点，一类是s=-2，-4，…-2n，…时的实零点，称为平凡零点；一类是复零点。黎曼猜想就是讲，这些复零点的实部都是，也就是所有复零点都在 这条直线（后称为临界线）上。
这个看起来简单的问题并不容易。从历史上看，求多项式的的零点特别是求代数方程的复根都不是简单的问题。一个特殊函数的零点也不太容易找到。在85年前，哈代首先证明这条临界线上有无穷多个零点。10年前我们知道有2/5的复零点都在这条线上，而且这条线外也没有发现复零点，因此，黎曼猜想是对是错还在未定之中。
黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为到达它的顶峰非常困难，已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？
在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：
黎曼ζ 函数。这个函数虽然挂着黎曼的大名，其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者， 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。
那么究竟什么是黎曼ζ 函数呢？黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数) ζ(s) = ∑n n^-s (Re(s)＞1) 在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) ＞1 的区域 (否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓 (当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：
这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s＞1： Γ(s)=(s-1)!。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是黎曼ζ 函数的完整定义。运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式：
ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s) 从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零[注三]。 复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是黎曼ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。
黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上Re(s)=1/2的直线称为“critical line”。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于critical line上。这就是黎曼猜想的内容，它是黎曼在 1859 年提出的。从其表述上看，黎曼猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但我们很快将会看到，它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。
哈地证明（哈代斗上帝）
英国著名的数学家哈代（G．H．Hardy 1877—1947）是华罗庚在英国剑桥大学学习数论时的指导教授。
英国自从出现牛顿以后，一向来数学工作者是注重应用数学，它的数学家不像欧陆的德国和法国在纯粹数学上有大的贡献和新的发现，至到19世纪末出了哈代之后，哈代以他在纯数学的工作使英国闻名于世。
哈代先后在牛津和剑桥大学教书，他为了研究数学从来不想到成家，而是由妹妹照顾他。他个性是有些怪，在那宗教势力浓厚的学府里敢公然说：“上帝是我的敌人。”他从不踏进教堂，也不参予有宗教色彩仪式的会议。
哈代是一个“板球（Cricket）迷”，每年夏天要等到板球季节过了，才会跑到欧陆度假，拜访他的几个好朋友与他们一起讨论研究数学。
每次到丹麦就会见他的好朋友波尔（Harald Bohr），他们坐下来，先在一张纸上写上先要解决和讨论的一些议程，然后讨论一个小时后才一起出去散步。每一次见面时哈地在议程的第一条往往写上：“证明黎曼假设！”
可是这个提议却一直没法子解决，一直到夏假结束他必须回去英国教书才作罢。第二年的夏天他回来丹麦又像前一年那样，两人每天把解决黎曼假设摆在议程的最前面，但是每次都不能解决。
有一年的夏末，哈代要乘船渡北海回英国，那天浪涛汹涌天气很恶劣，而船又很小，因此他在船开之前就写了一张明信片寄给波尔，在上面简单的写下这几个字：“我已经证明了黎曼假设。哈代。”
他是否真的证明了，要把这个好消息告诉他的好友呢？原来这明信片是有用意的：万一这船沉下去，哈地溺死了，世人就会认为哈地真的解决这个世界上的数学难题，而为这个解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人，一定不会让哈代享有解决这个著名难题的声誉，因此本来这船该沉下去，它也设法不让它沉，于是哈地可以平安回到英国。这样这个明信片就是他的救命护身符了。
你看了或许会笑，以为我们的哈代教授是这样幼稚可笑的人物，是的，有一些数学家他们想法和做事的天真幼稚就像6岁的儿童。可是他们研究的东西却深入和奥妙，不是普通人所能了解的。哈代逝世已四十多年，但是他遗留下来的工作，许多是那么的艰深和难于明白，普通大学数学系毕业生也不是很容易就能领会。
近年研究成果
荷兰三位数学家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。
1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。
1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了N0(T) ≥ 0.3474 N(T)。
1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No（T）＞0.35N（T）。
这个简单的特殊函数在数学上有重大意义，正因为如此，黎曼猜想总是被当成数一数二的重要猜想。在这个猜想上稍有突破，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素数定理就是在100年前由于黎曼猜想的一个重大突破而证明的。当时只是证明复零点都在临界线附近，如果黎曼猜想被完全证明，整个解析数论将取得全面进展。
更重要的是，在代数数论、代数几何、微分几何、动力系统理论等学科中都引入各种 函数和它们的推广L函数，它们各有相应的“黎曼猜想”，其中有的黎曼猜想已经得到证明，使得该分支获得突破性的进展。可以设想，黎曼猜想及其各种推广是21世纪的中心的问题之一。
黎曼，G．F．B（Riemann，Georg Friedrich Bernhard）1826年9月17日生于德国汉若威的布雷斯塞论茨；1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡。黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，我们从他当时的数学水平来看，他作为伟大的分析学家，其成就可以分为八个领域来论述。前4个领域是关于复分析方面的，他第一个有意识的将实域过渡到复域，开创了复变函数域，代数函数论，常微分方程解析理论及解析数论诸方向；后4个领域主要涉及实分析，在积分理论，三角级理论，微分几何学，数学物理方程等方面取得重大突破。重要的是一个多世纪之前的成就却直接同现代数学中的拓扑方法，一般流形概念，联系拓扑与分析的黎曼－洛赫定理，代数几何学特别是阿贝尔簇以及参模等紧密相连，他的空间观念及黎曼几何更预示着广义相对论，正是他促发了现代数学的革命性变革。