集合之间还可以采用一一对应的方法进行比较。古时有一人遭诬陷后被关进了漆黑一团的地下室里，他一心想着能早日出去报仇，但在这幽暗的世界里，没有黑夜与白天的分别，当然更没有天数的概念、怎么能知道自己在这里呆了多少天呢？他发现了一个窍门，原来狱卒每隔一天倒一次马桶。于是每当狱卒倒马桶时，他就用石块在墙上划一道线，这样马桶的集合与线的集合就形成一一对应，而马桶的集合又与日期的集合形成一一对应，因此，从线的多少就可以知道天数的多少。

要对任何两个集合进行比较，只要用一个集合的元素去对应另一个集合的元素就可以了。如果两个集合有一一对应的关系，那么我们就说两个集合是等价的，如上述线的集合、马桶的集合、日期的集合相互之间都是等价的。但值得注意的是两集合等价与相等不是一回事。例如在初一·二班中有张三和李四两位同学，张三的老师的集合A与李四的老师的集合B是相等的，因为两集合的元素是完全相同的；也就是：

A={王五，赵六，周七}

‖ ‖ ‖

B={王五，赵六，周七}

但假如张三与李四不是同一学校的，张三的老师的集合A与李四的老师的集合C就不是相等而可以是等价的，因为两集合的元素只是一一对应，而不是相同的，也就是：

A={王五，赵六，周七}

C={吴八，郑九，陈十}

判断若干个集合是否等价最简单的办法就是看每个集合内元素的个数是否相等，一集合的元素的个数称为此集合的基数，例如{北京，天津，上海}这一集合有三个元素，故其基数为3，而{《孔乙己》，《风波》，《阿Q正传》，《一件小事》}有四个元素，则基数为4。

有一些集合，它们的元素是有穷的，如{1，4，9，……100}，{里根，布什，克林顿}，这种集合称为有穷集合。而有些集合则有无穷多个元素，如整数的集合、宇宙中星体的集合等，这种集合称为无穷集合。无穷集合的基数大于任何有穷集合的基数。由上节的分析可以看出，无穷集合可以通过一一对应的方法进行比较，但却出现了令人惊讶的结果，如偶数集合与自然数集合的元素一样多，一条线上点的集合与平面上点的集合其元素也是相等的。康托尔把无穷集合的概念作为集合理论的基础，并证明无穷集合的一个显著特点就是无穷集合自身可与其部分具有一一对应关系。

还有一种集合与无穷集合恰好相反，这种集合不包含任何元素，例如“能被2整除的奇数的集合”、“活到1200岁的人的集合”等，这些集合叫空集。在我们讨论具有某种性质的对象时，把具有这种共同性质的一切元素组成的集合叫做全集。例如在某运动会中，参加某一项目竞赛的共有10名运动员，那么这10名运动员组成的集合就是参赛运动员的全集。

在一集合中，我们可以拿出一部分元素来组成新的集合。在本节开始所述的例子中，“初二·三班的学生”是一集合，而在这些学生中，又可以分出几种不同类型的学生，如参加歌咏比赛的学生、参加书画比赛的学生、参加围棋比赛的学生等。这几类学生是初二·三班学生组成的几种集合，这些集合都是初二·三班学生集的子集。显然，子集是包含于原来集合的子集的元素，如张三既是参加书画比赛学生集的元素，同时也是初二·三班学生集的元素。当然，我们还可以按其他条件组成不同的子集。如男学生集、女学生集、团员学生集、参加英语学习小组学生集等等。那么给定一个集，能组成多少个子集呢？我们具体看一下，例如：

{1}可有{}、{1}2个子集；

{1，2}可有{}、{1}、{2}、{1，2}4个子集；

{1，2，3}可有{}、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}8个子集。

依次类推，可以看出，一个含有n个元素的集合有2^n个子集。

需要注意的是，在集合论中，对于集合有多少元素没有限制，所以会出现只有一个元素的或没有元素的子集（空集），原集本身也是自己的子集。所以当我们问原集能有多少个子集的时候，空集和原集也须计算在内。

一个集合的所有子集也可以组成集合，这个集合叫做原集的幂集。例如{张三，李四}这一集合的幂集就是

{{}{张三}，{李四}，{张三，李四}}。

两个或两个以上的集合还可以通过运算形成新的集合。例如英语考试优秀的学生集A={赵丽，王芳，陈凤}，数学考试优秀的学生集B={朱军，王铭，王芳}。这两个集可以相加组成集C，它既包含了A的元素，又包含了B的元素，这个集就是{赵丽，王芳，陈凤，朱军，王铭}。这个集称为A和B的并集。注意的是，王芳在上面的集中不必写两次，只要写一次就说明她是C的元素了。因此C的基数并不等于A的基数加B的基数，而是二者相加后再减去共同的元素。文艺委员盂娟在作统计时实际上就是把3个子集进行相加，但要把3个子集的基数相加后再减去共同的元素才能等于初二·三班的总人数。而孟娟只是简单相加，忘记了应减去相同的元素，难怪要多出8人了。集合A和B还可以相乘得一新集合D，D是由于A、B中共同的元素组成的集即{王芳}，D称为A和B的交集。

以上是康托尔集合论的一些基本概念。当时德国数学权威、他的老师克洛耐克的攻击尤为激烈。他说：“康托尔走进了超穷数的地狱。”他有一句名言：“上帝创造了正整数，其余的是人的工作。”就是说，人只能在正整数的有穷范围内研究，至于无穷的世界则完全超乎人的能力之外。甚至不承认康托尔为他的学生。在这种情况下，康托尔长期受到压抑和排挤，竟然得不到柏林大学的教授职位，他郁郁不得志，一度精神崩溃，放弃数学的研究，后来终于在一家精神病院去世。

然而康托尔集合论的创立是人类思维发展史上的一座里程碑，它标志着人类经过几千年的努力，终于基本弄清了无穷的性质。因此越来越多的人开始承认它，并成功地把它应用到许多别的数学领域中去。大家认为，集合论确实是数学的基础。而且，由于集合论的建立，数学的“绝对严格性已经取得”。这时，数学的王国里春光明媚，阳光和煦，一派太平景象。然而正当人们喜气洋洋、兴高采烈地准备大摆“百牛宴”时，数学王国的大地上突然爆发了空前强烈的地震——在集合论发现了一系列的悖论。

这些悖论的出现，可以说是康托尔集合论的必然结果。实际上在19世纪末，康托尔本人就已发现自己理论中有不少矛盾，但他没有声张，而是悄悄地在利用。

由上可知，有1个元素的集合其子集有2个，有2个元素的集合其子集共有4个，一般地，有n个元素的集合其子集有2^n个,n个元素的集合其基数为n，而其所有子集组成的集合的基数为2^n ，显然2^n＞n。因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数。

据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。

悖论的出现这时并没有引起多大的震动，人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技术问题，只要作适当的修正，集合论仍然会成为数学大厦的基础，康托尔只是利用悖论进行反证，而并没有细究悖论的来源及意义，他没有意识到这种反证之所以可能，是因为他的理论中所使用的基本概念“集合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。1901年罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了！

悖论

《古今数学思想》书中 (第四册289页) 指出：二十世纪数学中最为深入的活动，使关于基础的探讨，强加于数学家的问题，以及他们自愿承担的问题，不仅牵涉到数学的本质，也牵涉到演绎数学的正确性。

在这世纪的前期，有几种活动汇合起来把基础问题引到一个高潮，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。……。