更新时间：2024-05-27 11:56
开平方指一种数学的运算方式，求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，开平方是平方的逆运算。开平方是一种开方运算。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（extraction of square root），其中a叫做被开方数。在实数范围内a必须大于或等于零，即a为非负数；在复数范围内，定义i的平方是-1，即-1的平方根是±i，记作i2=-1。
开平方是平方的逆运算，只要知道平方的计算方法，开平方就迎刃而解了。
如果令十位数值为A，个位数值为B，即为A×10+B，根据二数和的平方有：(A×10+B)2=(A×10)2+2(A×10)×B+B2=(A2)×100+(20A+B)×B。
举例说明：例3592计算方法
1、32=9，
2、(20×3+5)×5=325，
3、(20×35+9)×9=6381，
4、将这些数，按两位分节合起来：90000+32500+6381=128881。得3592=128881。
将这些计算步骤倒过来，就是开平方。同理，可以得开立方及n次方的方法。
我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就出现了基于算筹的开平方法。后来又有北宋数学家贾宪进一步对开方术完善，形成了成熟的程序化开方方法：增乘开平方法。
古代算书中有时用“开方”直接指代开平方。如《周髀算经》中的“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之， 即弦。” M相当于直角三角形中，己知勾a、股b，求弦c, ,即开平方运算。宋代《谢察微算经》“用字例义”和明代《算法统宗》“用字凡例”中将“开方”解释成“自乘还原”，即开平方法。
据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍。
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（20×3除256，所得的最大整数是 4，即试商是4）；
5．用所求的平方根的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．
如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．
例如求 的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到。
笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．
实例1 开方公式
例如，A=5：
5介于2的平方至3的平方;之间。取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，最好取中间值2.5。
第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；输入值大于输出值，负反馈；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。
第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；输入值小于输出值，正反馈；
即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=0.07272，0.07272×1/2=0.03636，2.2+0.03636=2.23636。取3位数2.23。
第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
即5/2.23=2.2421525，2.2421525-2.23=0.0121525，0.0121525×1/2=0.00607，2.23+0.006=2.236，取4位数。
每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。
例如A=200：
200介如10的平方至20的平方之间。初始值可以取11，12，13，14，15，16，17，18，19。取15：15+（200/15-15)1/2=14。取19也一样得出14：19+（200/19-19)1/2=14。
14+（200/14-14）1/2=14.1。
14.1+（200/14.1-14.1)1/2=14.14。
实例2 精确开方公式
对于一个要开平方的数C，先试估一个尽可能接近方根的数a，使得C=a2±b，且b≤a，则
例如，√3000：
因为3000=3025-25=552-25
所以√3000≈55-25/（2×55）-252/（8×553）= 54.7722577......，一次性得到了7位有效数字的精确度。