为了解这个微分方程，先列出一个特解

再求解剩余的常系数齐次线性全微分方程，

它的解为

这里， 与 是常数。合并特解和与齐次方程解，可以得到通解

选择坐标轴，让 。代回 ，

其中， 是离心率。

这是圆锥曲线的极坐标方程，坐标系的原点是圆锥曲线的焦点之一。假若 ，则 所描述的是椭圆轨道。这证明了开普勒第一定律。

约翰内斯·开普勒（1571年12月27日－1630年11月15日），德国天文学家、数学家。开普勒是十七世纪科学革命的关键人物。他最为人知的开普勒定律，是后代的天文学家根据他的著作《新天文学》、《世界的和谐》、《哥白尼天文学概要》萃取而成的。这些杰作对艾萨克·牛顿影响极大，启发牛顿后来想出牛顿万有引力定律。

开普勒曾在奥地利格拉茨的一家神学院担任数学教师。后来，他成了天文学家第谷·布拉赫的助手，并最终成为皇帝鲁道夫二世及其两任继任者马蒂亚斯和费迪南二世的皇家数学家。他还曾经在奥地利林茨担任过数学教师及华伦斯坦将军的顾问。

开普勒的第一部主要天文学作品——《宇宙的神秘》是第一部捍卫哥白尼学说并且公开发表的作品。他提出的“多面体—球体”假说虽然被证明是错误的，但这他是清除哥白尼学说中残留的托勒密理论的第一步。

1600年2月4日，开普勒在伊泽拉河畔贝纳特基见到了第谷·布拉赫。伊泽拉河畔贝纳特基是第谷的新天文台所在地。开普勒以客人的身份在这里住了两个月，同时分析了第谷的一些火星发现。差不多1601年一整年，他得到了第谷的直接资助。1601年10月24日，第谷出人意料的逝世了。两天之后，开普勒被委任成为他的继任者，作为皇家数学家负责完成第谷未完成的工作。

《新天文学》是开普勒根据第谷的方向进行的火星轨道研究发展的顶峰。开普勒运用等分点对火星轨道进行重复近似，但是他对自己有点不准确的结果仍感到不满意：在某些点，这个模型与数据的差异达到8弧分。在经历大约40次的尝试失败以后，1605年初，他想到了椭圆形这个概念。在发现椭圆形轨道非常适用于火星的数据之后，他推断出关于行星运动的第一定律。然而，他未将该数学分析扩展到火星之外。当年年底，他完成了《新天文学》的手稿。开普勒在1619年出版的《宇宙和谐论》重新发表了开普勒三条定律。

在他生命的最后几年，开普勒花了很多时间旅行。他于1630年11月15日在雷根斯堡去世，并安葬在那里；它安葬的地点在瑞典军队毁坏墓地之后不复存在。只有开普勒自创的墓志铭还流传下来：

Mensus eram coelos, nunc terrae metior umbras

Mens coelestis erat, corporis umbra iacet.

“仰天之高，俯地之深。“

”九霄安魂，一隅安身。”

其他知识请参见词条：开普勒第二定律、开普勒第三定律、开普勒。