这样，角速度是

对时间微分和对角度微分有如下关系：

根据上述关系，径向距离 对时间的导数为：

再求一次导数：

代入径向运动方程 ，

将此方程除以 ，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程来描述行星轨道：

为了解这个微分方程，先列出一个特解

再求解剩余的常系数齐次线性全微分方程，

它的解为

这里， 与 是常数。合并特解和与齐次方程解，可以得到通解

选择坐标轴，让 。代回 ，

其中， 是离心率。

这是圆锥曲线的极坐标方程，坐标系的原点是圆锥曲线的焦点之一。假若 ，则 所描述的是椭圆轨道。这证明了开普勒第一定律。

第二定律的证明

开普勒第二定律是这么说的：在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。O为恒星，直线AC为行星不受引力时的轨迹。设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段

时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）。因此，t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）。这样，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。因此，SΔBC’O=SΔABO。因为Δt是任取的，所以在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。

第三定律的证明

在图中，A，B分别为行星运动的近日点和远日点，以 和 分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见 和 的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为

……………………………………{1}

根据开普勒第二定律，应有 ，因此得

……………………………………………{2}

行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为

…………{3}

根据机械能守恒，应有 ，故得

……………………{4}

由{2}{4}两式可解得

………………………………{5}

由{5}式和{1}式得面积速度为

椭圆的面积为 ,则得此行星运动周期为

…………………………{6}

将{6}式两边平方，便得

注： 是半长轴， 是半短轴， 是半焦距

开普勒第二定律

开普勒定律适用于宇宙中一切绕心的天体运动。在宏观低速天体运动领域具有普遍意义。对于高速的天体运动，开普勒定律提供了其回归低速状态的方程。

也就是说，开普勒第二定律及其引出的推论，不仅适用绕太阳运转的所有行星，也适用于以行星为中心的卫星，还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。

仅适用于宏观低速运动的天体。提出的时候并没有给出严格的证明，但是为后来许多定律的证明奠定了基础。

开普勒第三定律

开普勒定律是一个普适定律，适用于一切二体问题。开普勒定律不仅适用于太阳系，他对具有中心天体的引力系统（如行星-卫星系统）和双星系统都成立。围绕同一个中心天体运动的几个天体，它们轨道半径三次方与周期的平方的比值（R^3/T^2）都相等，为（GM/4π^2），为中心天体质量。这个比值是一个与行星无关的常量，只与中心体质量有关，那么M相同是这个比值相同。

开普勒定律是开普勒发现的关于行星运动的定律。他于1609年在他出版的《新天文学》上发表了关于行星运动的两条定律，又于1618年，发现了第三条定律。 开普勒很幸运地能够得到著名丹麦天文学家第谷·布拉赫20多年所观察与收集的非常精确的天文资料。大约于1605年，根据布拉赫的行星位置资料，沿用哥白尼的匀速圆周运动理论，通过4年的计算发现第谷观测到的数据与计算有8’的误差，开普勒坚信第谷的数据是正确的，从而他对“完美”的神运动（匀速圆周运动）发起质疑，经过近6年的大量计算，开普勒得出了第一定律和第二定律，又经过10年的大量计算，得出了第三定律。开普勒的定律给予亚里士多德派与托勒密派在天文学与物理学上极大的挑战。他主张地球是不断地移动的；行星轨道不是周转圆（epicycle）的，而是椭圆形的；行星公转的速度不等恒。这些论点，大大地动摇了当时的天文学与物理学。经过了几乎一世纪披星戴月，废寝忘食的研究，物理学家终于能够用物理理论解释其中的道理。牛顿利用他的第二定律和万有引力定律，在数学上严格地证明开普勒定律，也让人们了解其中的物理意义。

太阳是宇宙的中心，地球和其他行星一样绕太阳公转，16世纪天文学家哥白尼以其大胆的洞察力，提出了太阳系这一引领时代的全新理论，从而带来了一场科技革命。但是直到半个世纪后，德国数学家开普勒利用丹麦天文学家布第谷·布拉赫提供的观察数据，才绘制出了第一张精确的太阳系地图。开普勒的辛劳巩固了哥白尼的理论。他孤军奋战，终于用第谷·布拉赫的观察数据，准确阐述了行星的运动。在有生之年，他的成就没有得到承认，但他的洞察力仍然是现代宇宙理论的基础。

开普勒（JohannesKepler，1571-1630），德国天文学家。开普勒于1571年12月27日出生在一个德国小市民家庭。他一来到人世间就遭到了许多不幸，天花使他成了麻子，猩红热弄坏了他的双眼。

17岁那年，开普勒进入了连蒂宾根大学学习，攻读神学，1591年他获得了神学硕士学位。但因父亲负债累累，使他不得不中途退学。由于他体弱多病，他的父母认为他只适合做一名牧师，因为这个职业轻松一些。可是开普勒的数学才华非常出众，当他了解到一些有关自然科学的理论之后，就把当牧师的想法抛得一干二净，终于在奥地利的一所大学里教了自然科学。

1600年，30岁的开普勒贸然给素不相识的丹麦天文学家第谷写信。他把自己研究天文学的成果和想法告诉了第谷。第谷看后，对开普勒的才华惊叹不已，立即写信邀请他来当自己的助手。但是开普勒来到第谷的身边仅10个月，老人便去世了。开普勒继承了这位老人留下的非常宝贵的资料，其中包括老人对火星运动的观测。

开普勒利用第谷多年积累的观测资料，仔细分析研究，发现了行星沿椭圆轨道运行，并且提出行星运动三定律（即开普勒定律），为牛顿发现万有引力定律打下了基础。

在第谷的工作基础上，开普勒经过大量的计算，编制成《鲁道夫星表》，表中列出了1005颗恒星的位置。这个星表比其他星表要精确得多，因此直到十八世纪中叶，《鲁道夫星表》仍然被天文学家和航海家们视为珍宝，它的形式几乎没有改变地保留到今天。

开普勒主要著作有《宇宙的神秘》、《光学》、《宇宙和谐论》、《哥白尼天文学概要》、《彗星论》和《稀奇的1631年天象》等。其中，在《宇宙和谐论》中，开普勒找到了最简单的世界体系，只需7个椭圆就可以描述天体运动的体系了；在《彗星论》中，他指出彗星的尾巴总是背着太阳，是因为太阳排斥彗头的物质造成的，这是距今半个世纪以前对辐射压力存在的正确预言；此外，开普勒还发现了大气折射的近似定律。为了纪念开普勒的功绩，国际天文学联合会决定将1134号小行星命名为开普勒小行星。

1601年，第谷逝世。约翰·开普勒接替了第谷的工作，开始编制鲁道夫星表。但开普勒的兴趣和注意力却更多的放在改进和完善哥白尼的日心说上，在探讨行星轨道性质的研究上。他发现第谷的观测数据，与哥白尼体系、托勒密体系都不符合。他决心寻找这种不一致的原因和行星运行的真实轨道。

最初的研究从观测与理论差异突出的火星着手。他运用传统的匀速圆周运动加偏心圆来计算，均遭到失败。经过长达4年近70次各种行星轨道形状设计方案的计算，开普勒认识到哥白尼体系的匀速圆周运动和偏心圆的轨道模式与火星的实际运动轨道不符。于是他大胆的抛弃了统治人类思想达2000年之久的“匀速圆周运动”偏见，尝试用别的几何曲线来表示火星轨道的形状。他认为行星运动轨道的焦点应该在产生引力中心的太阳上，并进而断定火星运动的线速度不是匀速的，近太阳时快些，远太阳时慢些并得出结论：太阳至火星的直径在一天内扫过的面积是相等的。开普勒把这结论推广到其他行星上，结果也是与观测数据相符。就这样，他首先得到了行星运行的等面积定律。随后他发现火星运行的轨道不是正圆，而是焦点位于太阳上的椭圆，他把这结论应用于其他行星也是适用的。于是他又得到了行星运行的椭圆轨道定律。这两条定律发表在他1609年出版的《新天文学》一书上。但他对自已取得的成就还不满足。他渴望找到一种能适合所有行星的总体模式，把各行星联系在一起。他坚信存在着一个把全体行星完整地联系在一起的简单法则。

在这个信念鼓舞下，开普勒忍受着个人在家庭方面遭受的巨大不幸，在很少有人了解和支持的困难条件下，经过九年的反复计算和假设，终于在1618年找到在大量观测数据后面隐匿的数的和谐性：行星公转周期

开普勒的三定律是天文学的又一次革命，它彻底摧毁了托勒密繁杂的本轮宇宙体系，完善和简化了哥白尼的日心宇宙体系。开普勒对天文学最大的贡献在于他试图建立天体动力学，从物理基础上解释太阳系结构的动力学原因。虽然他提出有关太阳发出的磁力驱使行星作轨道运动的观点是错误的。但它对后人寻找出太阳系结构的奥秘具有重大的启发意义，为经典力学的建立、牛顿的万有引力定律的发现，都作出重要的提示。

被称为“星子之王”的第谷·布拉赫在天体观测方面获得不少成就，死后留下20多年的观测资料和一份精密星表。他的助手开普勒利用了这些观测资料和星表，进行新星表编制。然而工作伊始便遇到了困难，按照正圆轨道来编制火星运行表一直行不通，火星这个“狡猾家伙”总不听指挥，老爱越轨。经过一次次分析计算，开普勒发现，如果火星轨道不是正圆，而是椭圆，那么矛盾不就烟消云散了吗。经过长期细致而复杂计算以后，他终于发现：行星在通过太阳的平面内沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。这就是行星运动第一定律，又叫“轨道定律”。

当开普勒继续研究时，“诡谲多端”的火星又将他骗了。原来，开普勒和前人都把行星运动当作等速来研究的。他按照这一方法苦苦计算了1年，却仍得不到结果。后来他发现，在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的连线所扫过的面积相等。这就是行星运动第二定律，又叫“面积定律”。

开普勒又经过9年努力，找到了行星运动第三定律：太阳系内所有行星公转周期的平方同行星轨道半长径的立方之比为一常数，这一定律也叫“调和定律”。

首先，开普勒定律在科学思想上表现出无比勇敢的创造精神。远在哥白尼创立日心宇宙体系之前，许多学者对于天动地静的观念就提出过不同见解。但对天体遵循完美的均匀圆周运动这一观念，从未有人敢怀疑。开普勒却毅然否定了它。这是个非常大胆的创见。哥白尼知道几个圆合并起来就可以产生椭圆，但他从来没有用椭圆来描述过天体的轨道。正如开普勒所说，“哥白尼没有觉察到他伸手可得的财富”。

其次，开普勒定律彻底摧毁了托勒密的本轮系，把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来，为它带来充分的完整和严谨。哥白尼抛弃古希腊人的一个先入之见，即天与地的本质差别，获得一个简单得多的体系。但它仍须用三十几个圆周来解释天体的表观运动。开普勒却找到最简单的世界体系，只用七个椭圆说就全部解决了。从此，不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动。

第三，开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的（即开普勒所说的“和谐”）系统。这个系统的中心天体是太阳，受来自太阳的某种统一力量所支配。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离，与质量无关。而在哥白尼体系中，太阳虽然居于宇宙“中心”，却并不扮演这个角色，因为没有一个行星的轨道中心是同太阳相重合的。

由于利用前人进行的科学实验和记录下来的数据而作出科学发现，在科学史上是不少的。但像行星运动定律的发现那样，从第谷的20余年辛勤观测到开普勒长期的精心推算，道路如此艰难，成果如此辉煌的科学合作，则是罕见的。这一切都是在没有望远镜的条件下得到的！