更新时间：2023-11-27 11:55
求一个数的立方根的运算方法，叫做开立方，是一种开方。它是立方的逆运算，最早在中国的九章算术中有对开立方的记载。
求一个数的立方根的运算方法。
1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；
2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；
3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；
4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；
5．用同样方法继续进行下去。
第1、2步同上。
第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；
第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×30+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。
然后重复第3、4步，直到除尽。
《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步，问为方几。”答曰：“二百三十五步。”这里所说的步是中国古代的长度单位。
开立方
〔立方适等，求其一面也。〕
术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。
〔言千之面十，言百万之面百。〕
议所得，以再乘所借一算为法，而除之。
〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕
除已，三之为定法。
〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。〕
复除，折而下。
〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者，
方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，
折下一等也。〕
以三乘所得数，置中行。
〔设三廉之定长。〕
复借一算，置下行。
〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕
步之，中超一，下超二等。
〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，
故又降一等也。〕
复置议，以一乘中，
〔为三廉备幂也。〕
再乘下，
〔令隅自乘，为方幂也。〕
皆副以加定法。以定法除。
〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕
除已，倍下，并中，从定法。
〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅
连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕
复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。
〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。〕
1、数m开n次方，n位一节为一根，前根均作a，a后需求的根均作b；前根a的位数不断增长，后根b永远作一位根视；直至开尽或开至所需要的位数。
2、首位a根用1～9内n方诀直接确定（随后就无a根系列的事了；或用双根或多位根作a；即将约小于被开数的乘方数的幂底整数值作为a根，再求b=x），b根用“标准固律方程式”或“简易求b方程式”求。
正向乘方式：m=（a+b），n=an+bn+s（s根据n的数字而定值）
逆向开方时：m－a^n=b^n+s=x^n+s；m－a^n－b^n=s；
如二次方的s=2ab；
三次方的s=3abD（D=a+b）；
五次方的s=5abD（D^2－ab）；
其它任意次方的固律参数照推。
即：b^n=m－a^n－s=c－s（c为可知数，s、b^n为潜态可知数）
例如：（a+b）^3=a^3+b^3+3(a^2)b+3a(b^2)=a^3+b^3+3ab（a+b）= m=a^3+b^3+3abD(D=a+b)
所以：（a+b）^3=m=a^3+b^3+3abD(D=a+b)
其他任意高次方的转换方式理同最简单、用式最短的三次方原理实用式记法。
但m开3次方时，这个原公式帮不上忙了，即必须进行转换。
因此成：（a+b）^3=a^3+b^3+3(a^2)b+3a(b^2)=a^3+b^3+3ab（a+b）=m= a^3+b^3+3abD(D=a+b)，
而后面转换成为m=a^3+b^3+3abD(D=a+b)，则m开方时就有同二次方一样的公式[求根式]可用了，在任意高次方中理同二次方无异。
也即在实际开高次方或无穷大指数时，或高次方程的运算过程中（注意：求b=x根就是科学上的各种一元n次方的标准方程式），《结构数学》都将现代数学式中的式子按照“结构原理”进行了处理与转换，使它都按照统一规律形式的规律型公式去表达，目的：便于快速简洁的进行运算，并符合“算术公里的无矛盾性标准”。
m=（a+b）^2=a^2+b^2+2ab=aa+bb+2ab；这个2ab就是二次方的S；所以二次方都会解！
而：
m=（a+b）^3=a^3+b^3+3(a^2)b+3a(b^2)=aaa+bbb+3aab+3abb=a^3+b^3+3ab（a+b）= a^3+b^3+3abD【D=a+b】；这个3abD就是三次方的S；
又如，m=（a+b）^5=a^5+b^5+5(a^4)b+10(a^3)(b^2)+10(a^2)(b^3)+5a(b^4)= a^5+b^5+5abD(D^2-ab)
五次方的S=5abD(D^2-ab) =5(a^4)b+10(a^3)(b^2)+10(a^2)(b^3)+5a(b^4)。
而这些3ab（a+b）=3abD=S；5abD(D^2-ab) =5(a^4)b+10(a^3)(b^2)+10(a^2)(b^3)+5a(b^4)=S，这个S就是高次方程解的奥秘。
在无穷大次方中，你知道了S，那么高次方的解同二次低方解的S=2ab的方式、方法没有任何区别的简单的不值一文钱了，也没有任何解的障碍或称为难题的必要了。
例如，A=5，k=3.
公式：5介于1^3至2^3之间（1的3次方=1，2的3次方=8）
可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以，例如2.0。按照公式：
第一步： ={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7}。输入值大于输出值，负反馈；
即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25，
2-0.25=1.75，取2位数值，即1.7。
第二步： ={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}。输入值小于输出值，正反馈；
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，
1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。
第三步： ={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}。输入值大于输出值，负反馈；
第四步： ={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.输入值小于输出值，正反馈；
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大 =1.7099.
当然也可以取1.1，1.2，1.3，...，1.8，1.9中的任何一个。
开平方公式
例如，A=5：
5介于2的平方至3的平方之间。初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，最好取 中间值2.5。
第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。
第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；
即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=-0.07272，-0.07272×1/2=-0.03636，2.2+0.03636=2.23。取3位数2.23。
第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
即5/2.23=2.2421525，
2.2421525-2.23=0.0121525，
0.0121525×1/2=0.00607，
2.23+0.006=2.236，取4位数。
每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。