更新时间：2023-01-01 18:27
弗罗贝尼乌斯问题(Frobenius problem)是关于一次不定方程的一个著名问题。设a1，a2，…，an为整数，它们的最大公约数为1，求不能表示成a1x1+a2x2+…+anxn的最大整数，其中x1，x2，…，xn为任意非负整数。这个问题称为一次不定方程的弗罗贝尼乌斯(Frobenius)问题，也称为换钱问题。
设n≥2，a1，a2，…，an都是正整数，(a1，a2，…，an)=1，再设xi≥0 (i=1，2，…，n)的线性型a1x1+a2x2+…+anxn不能表出的最大整数为g(a1，a2，…，an)，即对大于它的任意整数m，存在整数xi≥0 (i=1，2，…，n)，使a1x1+a2x2+…+anxn=m，研究g(a1，a2，…，an)的存在性及其解法，就是关于丢番图方程a1x1+a2x2+…+anxn=c的弗罗贝尼乌斯问题。
该问题不仅在不定方程理论上有重要意义，还在规划论、计算技术、合理下料、合理派工等方面都有实际应用。对此问题，目前研究的结果为：当n=2时，g(a1，a2)=a1a2-a1-a2；在n≥3时，关于g(a1，a2，…，an)尚无一般表示式，但在多种情形已有些不同的方法。例如，当a3>a1a2/(a1，a2)2-(a1+a2)/(a1+a2)时，可算得g(a1，a2，a3)=a1a2/(a1，a2)+a3(a1，a2)-a1-a2-a3，由于g(a1，a2，a3)=g(a2，a3，a1)=g(a3，a1，a2)，上面条件及结果中的a1，a2，a3可以轮换，对于一般的n有
其中di=(a1，a2，…，ai) (i=2，3，…，n)，d1=a1(dn=1)。
n=2时，易知所求的数为a1a2-a1-a2，证明如下：
首先，设m>a1a2-a1-a2，方程
的全部解可写成
其中是(1)的任一组整数解，t为任意整数。可以假定0≤x2 因此，x1≥0，即m=a1x1+a2x2，x1，x2都是非负整数。 另一方面，若 其中x1，x2为非负整数，则 从而。 因为，所以从而 矛盾。 所以，a1a2-a1-a2是不能表示成a1x1+a2x2(x1，x2为非负整数)的最大整数。 n=3的情况，直至1978年才由E.S.Selmer与Ö.Beyer利用连分数给出有显表达式的解答，同年O.J.Rodseth对他们的解答作了简化，1988年，H.Greenberg进一步作了简化，使所用步骤量为O(log a)。 n≥4时，尚无一般公式。