更新时间：2023-12-21 17:29
在数学中，张量积(tensor product) ，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的：最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。
（1）两个张量的张量积
有两个（或更多）张量积的分量的一般公式。例如，如果U和V是秩分别为n和m的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为：
所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。
注意在张量积中，因子U消耗第一个 rank(U) 指标，而因子V消耗下一个 rank(V) 指标，所以
例子：
设U是类型 (1,1) 的张量，带有分量Uβ；并设V是类型 (1,0) 的张量，带有分量V。则 而 。
张量积继承它的因子的所有指标。
（2）多重线性映射的张量积
给定多重线性映射和 它们的张量积是多重线性函数 。
（3）向量空间的张量积
在域K上的两个向量空间V和W的张量积 有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些 的关系下的等价类被叫做“张量”并指示为 。通过构造，可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。
要构造 ，采用在 K之上带有基 的向量空间，并应用(因子化所生成的子空间)下列多线性关系:
（1）
（2）
（3）
这里的 是来自适当空间的向量，而c来自底层域K。
我们可以推出恒等式 ，零在 中。
结果的张量积 自身是向量空间，它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定V和W基 和 ，形如 的张量形成 的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积；例如 有维数mn。
（4）希尔伯特空间的张量积
两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间，其定义如下。
定义
设 和 是两个希尔伯特空间，分别带有内积 和 。构造H1和H2的张量积 如下：
考虑他们的作为线性空间的张量积 。和上的内积自然地扩展到H上：
由内积的双线性（Bilinearity），只需定义
其中和即可。
H是一未必完备的内积空间。将H完备化，得到希尔伯特空间，这就是H1和H2作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中，具有如前所述的泛性质，即它是二者在该范畴内的乘积。
性质
如果H1和H2分别有正交基{φk} 和 {ψl}，则 {φk⊗ψl} 是H1⊗H2的正交基。
（5）两个向量空间的张量积
在向量空间范畴，对象之间的同态都是线性映射。但其实我们经常会碰到 “双线性映射” 这种概念，比如内积就是一个双线性映射 V x V --> C. 我们希望把 “双线性” 这种性质归于向量空间范畴。一个办法就是，构造一个跟 V, W 有关的向量空间 Z，使得所有定义在 V x W 上的 “双线性映射” 都可以由 “唯一” 一个定义在 Z 上的 “线性映射” 来代替。这个 Z 就叫 V 和 W 的张量积。
张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射φ把笛卡尔积V×W嵌入到向量空间X的问题。张量积构造V⊗W与给出自
的自然嵌入映射φ:V×W→V⊗W一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对 (X,ψ)，这里的X是向量空间，而 ψ 是双线性映射V×W→X，则存在一个唯一的线性映射使得。
假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。
直接推论是从V×W到X的双线性映射和线性映射的同一性。它是ψ到T的自然同构映射。
与对偶空间的关系
在泛性质的讨论中，替代X为V和W的底层标量域生成空间的对偶空间，包含在那个空间上的所有线性泛函)，它自然的同一于在上所有双线性函数的空间。换句或说，所有双线性泛函是在张量积上的泛函，反之亦然。
只要V和W是有限维的，在和之间有一个自然的同构，而对于任意维的向量空间我们只有一个包含。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法，把双线性泛函看做张量积自身。
后来的发展表明，“张量积” 可以扩展到一般范畴。凡是在范畴中多个对象得到一个对象，并满足一定结合规则和交换规则的操作都可以视为 “张量积”，比如集合的笛卡儿积，无交并，拓扑空间的乘积，等等，都可以被称为张量积。带有张量积操作的范畴叫做 “张量范畴”。张量范畴被视为量子不变量理论的形式化，从而应该同量子场论，弦论都有深刻的联系。
结果的秩为1，结果的维数为 4×3 = 12。
这里的秩指示张量秩（所需指标数），而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目；矩阵的秩是 1。
代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积。