弦心距

更新时间:2024-05-18 09:11

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧、弦和所对弦的弦心距相等,四者有一个相等,则其他三个都相等。

定义

在一个圆中,圆心到该圆的任一弦的距离,叫做这一弦的弦心距。

在同圆或等圆中,弦相等,弦心距也相等;反之,弦心距相等,弦也相等。

在同圆或等圆中,对于两条不相等的弦,它们的弦心距也不等,大弦的弦心距反较小。

相关性质

圆心角、弧、弦、弦心距的性质

(1)在同圆或等圆内,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦上的弦心距相等(逆命题也成立)。

(2)在同圆或等圆内,如果圆心角不等,那么圆心角大的所对的弧大,所对的弦大,所对弦上的弦心距小(逆命题也成立)。

直径、弦、弧的性质

(1)在圆内,如果直径垂直弦,那么这直径平分这弦,平分这弦所对的弧。

(2)在圆内,如果直径平分弦(这弦本身不是直径),那么这直径垂直这弦,并平分这弦所对的弧。

(3)在圆内,如果直径平分弧,那么这直径垂直平分这弧所对的弦。

(4)在圆内,弦的垂直平分线通过圆心。

(5)在圆内,二平行弦所夹的弧相等。

相关计算

遇到求弦长a,弦心距d,半径r及弓形高h的问题,经常建立以半径、半弦、弦心距为边的直角三角形,利用勾股定理解题。

由a,d,r,h中任意两个可求其他两个,如图1。

(1)若已知r、d,则

(2)若已知r、h,则

(3)若已知r、a,则

(4)若已知d、h,则

(5)若已知a、d,则

(6)若已知a、h,则

有关弦长、弦心距的计算问题往往需要作垂直于弦的直径(半径或弦心距),利用垂径定理平分弦的结论以及半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形达到求解的目的,也可用相交弦定理的推论解题。

【例1】 本市新建的滴水湖是圆形人工湖,为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A,B,C三根木柱,使得A,B之间的距离与A,C之间的距离相等,并测得BC长为240 m,A到BC的距离为5m,如图2所示,请你帮他们求出滴水湖的半径。

解析 本题涉及垂径定理及其推论知识,得OA⊥BC,再利用勾股定理求解。

解:连接OA交BC于D,连接OB。

因为AB= AC,所以 ,

所以OA⊥BC,且BD=DC=1/2BC= 120,

由题意知DA=5,

在Rt△BDO中,OB2=OD2+BD2,

设OB= m,则

所以x=1442.5.

答:滴水湖的半径为1442.5 m。

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