更新时间：2024-07-14 10:22
概述图所示是一个弹簧振子的模型，其中金属杆光滑，轻质弹簧质量远小于金属小球的质量，故可忽略不计。
单摆也是一种理想化的模型，它的结构是一根轻质无弹性的细线一端悬挂（即细线的伸缩不计），另一端下系一小球，当小球的直径远小于线的长度，且小球的质量远大于细线时，在不计空气阻力的情况下，这样的装置叫单摆。当单摆的摆角小于等于5°，且在竖直平面内做往复运动时，所做的运动也是简谐振动。小球是一个做简谐振动的振子，意义和弹簧振子相同。
弹簧振子的周期为。
其中k表示弹簧的劲度系数
m表示弹簧振子（小球）的质量。
并不严格的方法
由简谐振动位移公式 x=Acosωt （1）
对时间t求一次导数: v=-Aωsinωt
再对时间t求一次导数:a=-Aω2cosωt=-ω2x （2）
再考虑简谐振动的力的公式-kx=ma （3）
比较（1）、（2）、（3）三式（代入）
有-kAsinωt=-mAω2sinωt
整理得ω2=k/m
开方得ω=√(k/m)
则T=2π/ω=2π√(m/k)
把坐标原点选在弹簧原长处，x轴沿弹簧方向，由牛顿第二定律
这个微分方程的通解是
我们就从理论上得出了位移公式，相比在“并不严格的方法”中直接给出的位移公式，是不是更加有说服力？
从三角函数的知识可知
用拉格朗日方法推导弹簧振子运动方程
先写出拉格朗日函数
即得