更新时间：2024-07-03 18:05
强连通（Strongly Connected）是指一个有向图（Directed Graph）中任意两点v1、v2间存在v1到v2的路径（path）及v2到v1的路径。
在计算机图论中,强连通（Strongly Connected）是指有向图G（Directed Graph）中任意两点v1、v2之间都存在着v1到v2的路径(path,若途径的点和边都不重复,则称为路径)及v2到v1的路径。
定理：
一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，它至少包含每个节点一次。
证明：
充分性
如果G中有一个回路，它至少包含每个节点一次，则G中任两个节点都是互相可达的，故G是强连通图。
必要性
如果有向图是强连通的，则任两个节点都是相互可达。故必可做一回路经过图中所有各点。若不然则必有一回路不包含某一结点v，并且v与回路上的个节点就不是相互可达，与强连通条件矛盾。
在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。
直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，
Low(u)=Min{DFN(u),Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点
DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)}
当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
算法伪代码如下
tarjan(u)
{
DFN[u]=Low[u]=++Index // 设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E // 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。
返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4像节点1的后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，不再访问6，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=4。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。 在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。
void tarjan(int i)
{
int j;
DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
instack[i]=true;
Stap[++Stop]=i;
for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
{
j=e->t;
if (!DFN[j])
{
tarjan(j);
if (LOW[j] LOW[i]=LOW[j]; } else if (instack[j] && DFN[j] LOW[i]=DFN[j]; } if (DFN[i]==LOW[i]) { Bcnt++; do { j=Stap[Stop--]; instack[j]=false; Belong[j]=Bcnt; } while (j!=i); } } void solve() { int i; Stop=Bcnt=Dindex=0; memset(DFN,0,sizeof(DFN)); for (i=1;i<=N;i++) if (!DFN[i]) tarjan(i); } 在图论中，连通图基于连通的概念。在一个无向图 G 中，若从顶点vi到顶点vj有路径相连（当然从vj到vi也一定有路径），则称vi和vj是连通的。如果 G 是有向图，那么连接vi和vj的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。如果此图是有向图，则称为强连通图（注意：需要双向都有路径）。图的连通性是图的基本性质。 强连通图：在有向图中, 若对于每一对顶点v1和v2, 都存在一条从v1到v2和从v2到v1的路径,则称此图是强连通图。 弱连通图：将有向图的所有的有向边替换为无向边，所得到的图称为原图的基图。如果一个有向图的基图是连通图，则有向图是弱连通图。