F.培根所提出的“三表法”和“排斥法”相结合的归纳法，以及J.S.密尔提出的求因果联系的契合法、差异法（见密尔求因果五法），都是消去归纳法。它们的共同特征是：根据所研究的对象有选择地安排事例或实验，然后通过比较消去某些假说，得到比较可靠的结论。

以下所说的两种消去归纳法是用条件句的术语对密尔方法的改进。①假定要探求被研究现象a的必要条件，推广密尔的“求同法”，可以先比较a出现的各种场合。如果发现在a出现的各种场合的先行情况中仅仅有一个共同情况b，那么b是a的一个必要条件；如果不止有一个共同情况,那么a可能有几个必要条件。显然，在这些场合中的某个场合不出现的情况c不能是a出现的必要条件。如果在先行情况中没有一个共同情况，这并不意味着a没有必要条件。在这里，a的必要条件也许是两个或两个以上先行情况的析取。例如，c和d不是各种场合的共同情况，a出现的必要条件也许是“c或者d”的出现。对“c或者d”还可作进一步的分析。上述方法是密尔的契合法的推广。

②假定要探求被研究现象a的充分条件，根据改进过的密尔的“差异法”，可以选择两种场合，即正面场合和反面场合。在正面场合中，a出现；而在反面场合中，a不出现。反面场合可以选择若干个。然后对几种场合进行比较。

如果仅仅有一个先行情况b属于正面场合但不属于任一反面场合，那么b是a的一个充分条件；如果有两个或两个以上的先行情况属于所有的正面场合但不属于任一反面场合，那么 a可能有几个充分条件。显然，在各个反面场合出现的任一先行情况不能是a的充分条件。

如果不存在一个先行情况使得正面场合不同于任一反面场合，这并不意味着a没有充分条件。因为，a的充分条件也许是两个或两个以上情况的合取。例如，c和d是两种场合中的两个情况，“c并且d”（但不是它们中的单独一个）的出现也许是 a出现的充分条件。上述方法是密尔的“差异法”的推广。

在应用消去归纳法时，充分条件和必要条件可以互相定义。a出现是b出现的必要条件，当且仅当a不出现是b不出现的充分条件。例如，施肥是获得丰收的必要条件，不施肥就是得不到丰收的充分条件。在应用消去归纳法确定被研究现象的条件时，利用这种相互关系可以把①、②两种方法结合起来使用。

假说方法根据一组证据提出一个或一些假说，然后从某一特定的假说演绎出一些结论，这可以写成蕴涵式：“A→B”，接着检验这些结论。如果检验的结果是：B假，根据否定式推理： 就要否定这个假说。如果检验的结果是B真，就暂时接受这个假说。这里应用的是以下形式的归纳推理： 接受或排除一个假说的过程是很复杂的，往往不能一次完成。

有时，一个假说可以解释一些现象，但不能解释另一些现象，在这样的情况下，就不能简单地肯定或否定这个假说。一般说来，在两个或两个以上的假说中，能解释的现象数量较大或最大的假说与不能解释的现象数量之差较大或最大的假说，是可以暂时接受的，它们具有较高程度的可靠性。

应用假说方法的过程是一个不断地提出、检验、修改、排除或确定假说过程，在这个过程中，需要应用归纳，也需要应用演绎。例如，科学史上关于光的本性的两个著名假说“微粒说”和“波动说”，它们都各自能解释一些光的现象，但又不能完全解释另一些光的现象，只具有一定程度的真实性，后来终于被“波粒二象说”（见波—粒二象性）所取代。

19世纪中叶以后，归纳方法的研究和数学里的概率统计相结合，得到了迅速的发展。现代不同的科学领域所应用的归纳方法不尽相同。如在设计科学实验时用培根、密尔的归纳方法与数理统计相结合的方法，在医学和经济学中多应用数理统计。现代归纳逻辑在理论方面的一种发展趋势，就是用数理逻辑的工具对归纳推理进行系统的、形式化的研究，构造出各种归纳逻辑的公理系统。概率逻辑和模态归纳逻辑就是其中的两种。

概率逻辑与数学中的概率统计不同，后者的发展是由于数学和实验科学的需要；而概率逻辑是由于数理逻辑的发展和研究归纳逻辑的需要。概率逻辑从20世纪20年代开始形成不同的系统，在其发展过程中，R.卡尔纳普作出了重要贡献。卡尔纳普把归纳推理主要分为5种：①直接推理。这是从总体到样本的推理。所谓总体是指所考察的一类事物，样本则是从总体中随机抽出的若干个体组成的子类。直接推理的前提是总体中某一性质M出现的频率，结论是某个样本中M出现的同样频率。

②预测的推理。这是从一个样本到另一个不同样本的推理。

③类比推理。即根据两个个体之间的相似性从一个个体到另一个个体的推理。

④逆推理。这是从一个样本到总体的推理。

⑤普遍的推理。这是从样本到具有普遍形式的假设的推理。

卡尔纳普认为，归纳逻辑是关于归纳推理的理论，是以概率的概念为基础的，归纳逻辑就是概率逻辑。概率是一组命题即某些给定的证据和另一个命题即假设之间的关系，也就是证据对假设的确证度，卡尔纳普称之为概率1，以便与相对频率即概率2相区别。设证据为e，假设为 h，确证度q=c(h, e)，c称为确证函数或c函数。卡尔纳普利用数理逻辑和语义学的方法，构造了一个以研究确证度为对象的概率逻辑系统，并对他所提出的 5种归纳推理作了概率的处理。

在概率逻辑发展之后，20世纪中叶以来，有的学者如美国的P.J.科恩用模态逻辑作为处理归纳推理的工具。科恩指出，卡尔纳普的概率逻辑面临不少困难，对归纳推理不宜作概率处理。他所提出的归纳逻辑的研究对象是证据e对假设h的支持度，用s(h, e)表示，s称为支持函数。在他看来，支持度可列为不同的等级，不同等级的支持度，就是证据给予假设不同等级的必然性，一个被证明了的理论就是由较低级的必然性达到较高级的必然性。不同等级的支持度是广义模态逻辑的研究对象。科恩证明了一个广义模态逻辑系统满足他的支持函数的全部要求。

现代归纳逻辑正处在深入研究的新阶段，它与现代形式逻辑即数理逻辑的一些分支，以及与信息论、模糊数学和人工智能等学科密切结合、相互渗透，并以这些学科为工具，不断地开拓新的领域。

J.S.Mill, A System of Logic, 8th.ed., London,1872.

R.Carnap, Logical Foundations of Proda dility,Chicago,1950.

L.J.Cohen, The Implications of Induction, London,1970.

演绎主义者反对或贬低归纳逻辑，认为归纳逻辑不是一种科学的方法，其基本理由也有两个：

一、是认为归纳逻辑不可能给人以具有普遍性或必然性的知识。因为，归纳逻辑是从小范围推知大范围、从过去推知未来的方法，故无法保证其普遍性和必然性。比如，过去欧洲人通过世世代代经验的归纳，确信“凡是天鹅都是白的”，但是后来在澳大利亚发现了黑天鹅，它就被否定了。

二、是所谓的休谟问题。休谟认为，由归纳前提到归纳结论的推理，是建立在所谓的“归纳原理”之上的。而归纳原理本身却又正是归纳的结果。因此，这里就犯了循环论证的错误。也就是说纯粹的、单一的归纳逻辑的使用也不具有合理性的基础。休谟问题也被称之为“归纳合理性问题”。

这里反对归纳逻辑的两个理由也是有道理的，但是我们也有辩驳的必要。

比如论点一，认为归纳逻辑不可能给人以普遍性和必然性的知识。这也并没有错，但也不能说明归纳逻辑就没有意义了。因为，归纳逻辑虽然不能给人以普遍性和必然性的知识，却能给人以在一定范围内成立的知识。比如，我们根据经常看到的“天鹅都是白色的”，从而推知“凡是天鹅都是白色的”，这个结论虽然不是绝对正确的，却在相当大的范围内是成立的。再如，牛顿的三定律及万有引力定律都是通过为数不多的观察和实验总结出来的，却在相当宽广的范围内是有效的。

事实上，归纳逻辑的真正意义并不在于一下子就告诉人类绝对真理，而在于告诉人类在一定范围内是有效的相对真理，并通过逐步扩大相对真理的适用范围去无限的逼近宇宙的绝对真理。因此，归纳逻辑的结论一般都具有被证实或证伪这两种可能性，在它成立的范围内它将被证实，超出了这一范围它将被证伪。波普尔认为，科学的发展更是证伪的作用。这是有道理的，科学的每一次重大的发展都是由于原归纳结论不能适用，必须结合这些原归纳结论不能适用的新事物归纳出更一般性的结论。另外，归纳逻辑的有效性与正确的运用“归纳原理”有关，这在下面论述。

再如论点二，认为归纳逻辑不具有合理性的基础。休谟认为，归纳逻辑的合理性是不可能得到证明的，只能从心理学角度对“归纳逻辑的使用信念”作出解释，这就是“习惯”或“习性”的作用；康德进一步认为归纳逻辑是用先天的因果范畴对经验材料进行整理和综合，从而归纳逻辑的合理性即存在于所说的因果性范畴的先天性之中；穆勒则提出了所谓的“自然齐一律”，即认为“自然界中存在着象平行的事例这一类事情，过去曾经发生的，在相同的条件下将再次发生。”

穆勒的回答才是真正聪明的。但是笔者认为，更准确的回答应该是我们前面说过的“宇宙的统一性原理”。即宇宙是统一的，因此宇宙的各个部分都存在着宇宙的其他部分都适用的知识，这就是关于宇宙本原（这里的本原兼有宇宙的组成单位和起源这两个概念）的知识。因此，我们只要在宇宙的任意一部分获取了这类知识，我们就可以推知整个宇宙了。

当然，人类是不可能在有限步骤内完全获取这类知识的。人类在有限步骤内只能获取可以被称之为“相对本原”的知识，比如原子、夸克等等，以及人类的起源、地球的起源等等。这类“相对本原”实际上就是宇宙中的部分事物的统一性知识。由于这类知识是部分统一的，因此它的适用范围是有一定局限的。超出了这个范围，我们就要寻找更一般的统一性知识或“相对本原”。

事实上，人类的知识正是这样逐步获取的。而上面所说的归纳逻辑的有效性必须遵循的所谓的“归纳原理”，就是以事物的统一性知识，或者说以事物的起源、组成单位为核心内容。