微分法

更新时间:2022-08-25 19:12

数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。当某些函数f的自变量x有一个微小的改变h时,函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分,另一部分是比h更高阶的无穷小,这种表示方法称为微分法。

简介

在古典的微积分学中,微分被定义为变化量的线性部分,在现代的定义中,微分被定义为将自变量的改变量 映射到变化量的线性部分的线性映射 。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在,就一定是唯一的。

在数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。当某些函数 的自变量 有一个微小的改变 时,函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分:在一维情况下,它正比于自变量的变化量 ,可以表示成 和一个与 无关,只与函数 及 有关的量的乘积;在更广泛的情况下,它是一个线性映射作用在 上的值。另一部分是比 更高阶的无穷小,也就是说除以 后仍然会趋于零。当改变量很小时,第二部分可以忽略不计,函数的变化量约等于第一部分,也就是函数在 处的微分,记作 或 。如果一个函数在某处具有以上的性质,就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微,便称函数在该点不可微。

定义

微分法定义如下:

设函数 在某区间 内有定义。对于 内一点 ,当 变动到附近的 (也在此区间内)时,如果函数的增量 可表示为 (其中 是不依赖于 的常数),而 是比高阶的无穷小,那么称函数 在点 是可微的,且 称作函数在点 相应于自变量增量 的微分,记作 ,即 , 是 的线性主部。

通常把自变量 的增量 称为自变量的微分,记作 ,即 。

(函数在一点的微分,其中红线部分是微分量 ,而加上灰线部分后是实际的改变量 。)

几何意义

设 是曲线 上的点 在横坐标上的增量,是曲线在点 对应 在纵坐标上的增量, 是曲线在点 的切线对应 在纵坐标上的增量。当 很小时, 比 要小得多(高阶无穷小),因此在点 附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

微分法则

和求导一样,微分有类似的法则,例如,如果设函数 、 可微,那么:

1)

2)

3) ,

4)若函数 可导,那么 。

微分法与微分形式

如果说微分是导数的一种推广,那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点 给出一个近似描述函数性质的线性映射 ,而微分形式对区域 内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式: 。在坐标记法下,可以写成:

其中的是-射影算子,也就是说将一个向量射到它的第个分量的映射。而是满足:

的k-形式。

特别地,当是一个从映射到的函数时,可以将写作:

正是上面公式的一个特例。

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