更新时间:2024-07-06 23:39
1.域运算:给每个态射指定范畴中一个对象。
2.陪域运算:给每个态射指定范畴中一个对象。
态射经常用从其域到其陪域的箭头来表示,例如若一个态射f域为X而陪域为Y,它记为f:X→Y。所有从X到Y的态射集合记为homC(X,Y)或者hom(X,Y)。(有些作者采用MorC(X,Y)或Mor(X,Y))。
3.复合运算:对于
4.单位运算:对于每个对象X,指定一个态射idX:X→X,称为X上的单位态射。
对于单位运算与复合运算满足两条公理:
(1)单位律:使得对于每个态射f:A→B我们有 。
(2)结合律: 。
当C是一个具体范畴的时候,复合只是通常的函数复合,单位态射只是恒等函数,而结合律是自动满足的。(函数复合是结合的。)
注意域和陪域本身是决定态射的信息的一部分。例如,在集合的范畴,其中态射是函数,两个函数可以作为有序对的集合相等,但却有不同的陪域。这些函数从范畴论的目的来说被视为不同。因此,很多作者要求态射类hom(X,Y)是不交的。实际上,这不是一个问题,因为如果他们不是不交的,域和陪域可以加到态射上,(例如,作为一个有序三元组的第二和第三个分量),使得它们不交(互斥,disjoint)。
对态射和它们定义于其间的结构(或对象)的抽象研究构成了范畴论的一部分。在范畴论中,态射不必是函数,而通常被视为两个对象(不必是集合 )间的箭头。不象映射一个集合的元素到另外一个集合,它们只是表示域(domain)和陪域(codomain)间的某种关系。
尽管态射的本质是抽象的,多数人关于它们的直观(事实上包括大部分术语)来自于具体范畴的例子,在那里对象就是有附加结构的集合而态射就是保持这种结构的函数。
(1)同构(isomorphism):令f:X→Y为一个态射。若存在态射g:Y→X使得和成立,则f称为一个同构。g称为f的逆态射,逆态射g如果存在就是唯一的,而且显而易见g也是一个同构,其逆为f。两个对象之间有一个同构,那么这两个对象称为同构的或者等价的。同构是范畴论中态射的最重要种类。
(2)满态射(epimorphism):一个态射f:X→Y称为一个满同态,如果对于所有Y→Z的态射g1,成立。这也称为epi或epic.具体范畴中的满同态通常是满射(surjective)函数,虽然并不总是这样。
(3)单态射(monomorphism):态射f:X→Y称为单同态,如果对于所有Z→X的态射g1,g2,成立。它也称为mono或者monic.具体范畴中的单同态通常为单射(injective)函数。
(4)双同态(bimorphism):若f既是满同态也是单同态,则称f为双同态(bimorphism)。
注意每个同构都是双同态,但不是每个双同态都是同构。例如,交换环的范畴中,包含映射Z → Q是一个双同态,但不是一个同构。如果在一个范畴中每个双同态都是同构,则这个范畴称为一个平衡范畴。例如,集合是一个平衡范畴。
(5)自同态(endomorphism):任何态射f:X→X称为X上的一个自同态。
(6)自同构(automorphism):若一个自同态也是同构的,那么称之为自同构。
(7)若f:X→Y和g:Y→X满足可是证明f是满的而g是单的,而且 :X→X是幂等的。这种情况下,f和g称为分割(split).f称为g的收缩(retraction)而g称为f的截面。任何既是满同态又是分割单同态的态射,或者既是单同态又是分割满同态的态射必须是同构。