其中是边值条件确定的曲面边界。

由于，那么当上式左边的曲面积分等于零的时候，必须处处为零（即得 ）。

这就意味着，该方程的解的梯度是唯一确定的，当且仅当如下条件成立

使得上式成立的边值条件包括：

狄利克雷边界条件：在曲面边界有定义。 因此。于是，在边界任意位置 ，上式成立。

诺伊曼边界条件：在曲面边界有定义。 因此 。于是，在边界任意位置 ，上式成立。

修改过的诺伊曼边界条件（也称为罗宾边界条件——其中假设边界都是带有已知电荷的导体）：只需在边界应用高斯定律，也是有定义的。 因此，上式成立。

混合边值条件（上述三个条件的组合）：唯一性定理仍然成立。

边界曲面还可以是无穷远的边界（即所求的电势所在的区域没有边界）。在这种情况下，只要上述的曲面积分等于零，唯一性定理仍然成立。举个例子，当被积函数下降的速度比表面积快的时候，该积分趋近于零。