更新时间:2022-08-25 18:51
扩展欧几里得算法是欧几里得算法(又叫辗转相除法)的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数,此算法还能找到整数x、y(其中一个很可能是负数)。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有两个数a,b,对它们进行辗转相除法,可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后,收集辗转相除法中产生的式子,倒回去,可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。
扩展欧几里得算法(英语:Extended Euclidean algorithm)是欧几里得算法(又叫辗转相除法)的扩展。已知整数a、b,扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时,能找到整数x、y(其中一个很可能是负数),使它们满足贝祖等式
如果a是负数,可以把问题转化成,然后令x'=(-x)。
通常谈到最大公约数时,我们都会提到一个非常基本的事实:给予二个整数a、b,必存在整数x、y使得ax + by = gcd(a,b)。
有两个数a,b,对它们进行辗转相除法,可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后,收集辗转相除法中产生的式子,倒回去,可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。
用类似辗转相除法,求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。
过程可以用矩阵表示(其中q表示商,r表示余数)。
或者用初等变换
以下是扩展欧几里德算法的Python实现:
扩展欧几里得算法C语言实现: