指数

更新时间:2024-10-11 21:56

指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数,a为底数,n为指数,指数位于底数的右上角,幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数,an表示n个a连乘。当n=0时,an=1。

定义

指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数,a为底数,n为指数,指数位于底数的右上角。

当指数 时,

当指数 ,且n为整数时,

当指数 时,

当指数 时,称为平方

当指数 时,称为立方

指数函数

一般地,形如(且)()的函数叫做指数函数(exponential function) ,也就是说以指数为自变量,底数为大于0且不等于1的常量的函数称为指数函数,它是初等函数中的一种。

指数函数图像如图1所示:

故事

曾经有人问爱因斯坦,世界上什么事情最可怕?爱因斯坦说:“复利最可怕。”

复利就是将本金按一定利息存入银行,到期将利息计入本金继续存入银行,本利不断增加。如果本金为 ,年利息率为 , 年后可以从银行取出的钱为 。一般年利率 不会超过15%,而指数项,即存入银行的年限 却增长很快,当 足够大时,本利相加会达到极其大的值。纽约曼哈顿地区是早期移民以价值200美元的珠宝从印地安人手中买下的,如果当初将200美元存入银行,至今本息比曼哈顿的全部房产价值还要高。如果存入银行1000元,年利率5%,若计复利的话,那么200年后的便可以从银行取到 元,即 元。

传说在古印度有位国王要赏赐一位宰相,就问宰相想要什么,宰相拿出一张国际象棋的棋盘。笑着说,我只求您给我一些麦粒,在第一个格子里放一粒( ),第二格子里放两粒( ),第三个格子里放四粒( ),也就是第 个格子里放 粒,直到每个格子的麦粒放好.国王以为这太简单了,就爽快地答应了。可是等到真要执行这个诺言时国王却不得不反悔了.这是为什么呢?国际象棋棋盘共有64个格,按宰相的要求总共需要的麦粒数为等比数列 的和,即为 粒。若1公斤麦粒5万粒,那么总共需要的麦粒为 吨。这些麦粒也许把全国的麦子全拿来都不够,国王怎么可能答应呢?

不管是复利的可怕还是宰相的狡猾,都是因为其中含有共同的关键因素——指数项 ,是指数项 的奇妙作用,使得看似简单的事情令人吃惊。

发展历程

指数与幂的概念的形成是相当曲折和缓慢的指数符号( Sign of power) 的种类繁多,且记法多样化。

中国古代“幂”字至少有十各不同的写法。

刘徽《九章算术》作注,在《方田》章求矩形面积法则中写道:“此积谓田幂,凡广从相乘谓之幂( 长和宽相乘的积叫作幂) 。”这是第一次在数学文献上出现幂。

《准南子·天文训》讲到乐律,有这样几句话:“故黄钟之律九寸,而宫音调;因而九之,九九八十一,故黄钟之有选举权立焉......十二各以三成,故置一而十一三之,为积分十七万七千一百四十七,黄钟大数立焉。”可翻译如下:发出黄钟音律的管长 9寸,它的音调叫作宫。用 9 去乘它得81。81 这个数叫作黄钟数。12 律的每一个是根据三分损益这个原则造成的。所以将 3 乘了11次,得到的积,分管长 177147等份,这177147 叫作黄钟大数,以别于黄钟数81。很明显,“置一而十一三之”就是乘方运算,11 就是指数。整句话包含式子,具有指数的初步概念。

1607 年,利玛窦和徐光启合译欧几里得的 《几何原本》,在译本中徐光启重新使用了幂字,并有注解:“自乘之数曰幂。”这是第一次给幂这个概念下定义。

至十七世纪,具有“现代”意义的指数符号才出现。最初的,只是表示未知数之次数,但并无出现未知量符号。比尔吉则把罗马数字写于系数数字之上,以表示未知量次数。其后,开普勒等亦采用了这符号。罗曼斯开始写出未知量的字母。1631 年,哈里奥特( 1560-1621) 改进了韦达的记法,以 aa表示, 以aaa 表示。1636 年,居于巴黎的苏格兰人休姆( James Hume) 以小罗马数字放于字母之右上角的方式表达指数,如以表示,该表示方式除了用的是罗马数字外,已与指数表示法相同。笛卡儿( 1596-1650) 以较小的印度阿拉伯数字放于右上角来表示指数,是现今通用的指数表示法。

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