满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。

亦称交换群。一种重要的群类。对于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba.若群G的运算满足交换律，即对任意的a，b∈G都有ab=ba，则称G为阿贝尔群。由于阿贝尔(Abel，N.H.)首先研究了交换群，所以通常称这类群为阿贝尔群。交换群的运算常用加法来表示，此时群的单位元用0(零元)表示，a的逆元记为-a(称为a的负元)。用加法表示的交换群称为加法群或加群。

群是现代数学中最重要的具有概括性 的概念之一，有关群的性质及其结构的理论称为群论。

1831年，年仅20岁的青年数学家伽罗华得到n次方根可否通过对系数施行四则和开方运算来求解的判据，一举解决了五次以上代数方程求解的千古难题。这个问题得以解决，取决于他对置换群性质所作的深入讨论，群的概念就在这时产生了。 研究代数方程的性质与群的性质之间的关系已成为一门大理论伽罗华理论所研 究的对象，伽罗华理论在群论的发展中起 作决定性的作用。40年后克莱因的变换群导致几何观的一次革命；索福斯·李研究微分方程，开创李群论，更深刻影响着数学物理的发展。在数学物理的对称现象的研究中，对称的概念看来是明显的，但对对称概念的精确和一般的描述，特别是对称性质量上的计算，却要用群论这个工具才行。19世纪到20世纪，在几何、晶体等物理、化学中，都弄清了对称规律的重要意义，因此群论的方法和结果得以广泛使 用。1890年，费道洛夫用群论阐明晶体结构的几何形态，特别是20世纪30年代， 书尔、维格纳等人把群论应用于量子力学取得成功，导致了原子、分子结构的重要 发现。群论已经是量子物理和量子化学常用的工具了，这更使群论走出了纯数 学专业的数学王国，活跃于更广阔的科学地。今天，群的概念已普遍被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一，它不但渗透到像几何学、代数拓扑学、函数论、 泛函分析及其他许多数学分支中而着重要的作用，还形成了一些新学科，如拓扑群、李群、代数群、算术群等。它们还具有与 群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析 流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至编码学、自动机理论等方面 都有重要应用。作为推广 “群” 的概念的 产物，群论及其在计算机科学中的应用，也有很大的发展。

群的概念中有两个方面： 一是指出它 的元素是哪些事物，二是元素间运算的规则，可分别用它们来研究群。研究群的元素和元素集合的各种性质，以及它们同群的运算性质之间的联系，这常常是研究各种具体的群，如交换群、置换群、运动群、 拓扑群等；也可研究完全由群的运算性质表示出来的特性，它属于抽象群论或一般群论。下面是一些抽象群论的概念： 同构， 一个群的元素与另一个群的元素对应，运算结果也是对应的，称两个群同构; 一个 群所含元素的个数称为群的阶，群G的阶 记为|G| ，|G|有限时为有限群，无限时为无限群；同构中两个群中的元素是一一对应的，若存在多对一的对应则称为同 态。