更新时间：2022-08-26 11:36
数乘变换(Number multiplication transformation)是一种线性变换，设V是数域P上的一个线性空间，k是P中的一个数，对任意α∈V，由σ(α)=kα所决定的线性变换σ，称为数乘变换，记为k*，这样1*就是单位变换，0*就是零变换。
设V为数域F上的线性空间，是V到V的一个映射（变换），且满足条件：
（1）对任意的α，β∈V有：
(α+β)=(α)+(β)；
（2）对任意的α∈V及任意的实数k∈F，有：
(kα)=k(α)，
则称为V的线性变换。
设V是数域F上的线性空间。定义变换为
(α)=α，α∈V，
称为恒等变换或单位变换；定义变换为
(α)=0，α∈V，
称为零变换，它们都是线性变换。
设V是数域F上的线性空间，k∈F，定义变换 为
(α)= kα，α∈V，
称为数乘变换，数乘变换是线性变换，故线性变换的性质也是数乘变换的性质，参见线性变换。显然当k=1数乘变换即为恒等变换，k=0数乘变换即为零变换。
(1)设是V的一个线性变换，则：
(0)=0， (-α)=- α。
因为(0)=(0·α)=0(α)=0，
(-α)=((-1)α)=(-1)(α)=-(α)。
(2)线性变换保持向量的线性组合和线性关系式不变，即
若β是α1，α2，…，αs的线性组合：
β=k1α1+k2α2+…+ksαs，
则有(β)=k1(α1)+k2(α2)+…+ks(αs)，
(β)仍然是(α1)，(α2)，…，(αs)的线性组合，且表出系数相同。
同样若对于α1，α2，…，αs，有：
k1α1+k2α2+…+ksαs=0，
则有：
k1(α1)+k2(α2)+…+ks(αs)=0。
(3)线性变换把线性相关的向量组变为线性相关的向量组。
注 线性变换可能把线性无关的向量组变为线性相关的向量组，譬如零变换。