更新时间：2023-09-28 20:28
数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。
定义 若函数的定义域为全体正整数集合，则称
为数列。因正整数集的元素可按由小到大的顺序排列，故数列也可写作
或可简单地记为，其中称为该数列的通项。
定义设为数列，a为定数。若对任给的正数，总存在正整数N，使得当时有
则称数列收敛于a，定数a称为数列的极限，并记作
若数列没有极限，则称不收敛，或称发散。
等价定义任给，若在(a-ε,a+ε)之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限a。
当n>N时，所有的点xn都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有N个）在其外,如图1所示
唯一性 若数列 收敛，则它只有一个极限。
有界性 若数列 收敛，则 为有界数列，即存在正数 ，使得对一切正整数n有
保号性 若 (或 )，则对 (或 ),存在正数N，使得当 时，有 (或 )。
保不等式性 设 与 均为收敛数列。若存在正数 ，使得当 时有 ，则
迫敛性 设收敛数列 ， 都以a为极限，数列 满足：
存在正数 ，当 时有 则数列 收敛，且
四则运算法则
若 与 为收敛数列，则 ， ， 也都是收敛数列，且有
若再假设 及 ，则 也是收敛数列，且有
致密性定理 任何有界数列必有收敛的子列。
（1）求极限
解：
（2）求极限
解：
因为
且
所以，由迫敛性可得