更新时间:2022-08-25 13:41
设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1,如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍是P中的数,则称P为一个数域。
设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1,如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍是P中的数,则称P为一个数域。
常见数域: 复数域C;实数域R;有理数域Q。
(注意:自然数集N及整数集Z都不是数域。)
说明:
1)若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P中,则说数集P对这个运算是封闭的。
2)数域的等价定义:如果一个包含0,1在内的数集P对于加法,减法,乘法与除法(除数不为0)是封闭的,则称数集P为一个数域。
(1)任意数域P都包括有理数域Q;即,有理数域为最小数域。
证明:设P为任意一个数域,由定义可知,,于是有,进而有,而任意一个有理数可表成两个整数的商,所以。
(2)设F1及F2是两个数域,则也构成一个数域。
数域因为其定义过于广泛,没有太好的性质,在数学中的直接应用很少,经常用到的是它的一些子对象,例如:
代数数域,即有理数域的有限扩张,例如有理数域和高斯域。
阿基米德局部域,实数域和复数域,它们是代数数域关于通常的绝对值做完备化得到的域。
的代数闭包。
分圆域,它是有理数域的射线类域(ray class field),即所有的有限阿贝尔扩张均包含在某个分圆域中。它也是代数数域,扩张次数是的欧拉函数。