小组合作学习效度如何，主要看小组的选题是否科学，分组是否合理，是否互赖互动，是否有预设有生成。所谓选题科学，就是所选主题符合重要性、探究性、开放性和生活化这四个标准，否则就没有探究价值。合理的分组一般以组内异质、组间同质为原则，人数也不能过多，以4-6人为宜，每人都应有明确的分工。互赖强调每个小组成员的努力都是小组成功所需要的和不可取代的，并且因为每个小组成员的资源、角色以及责任不同，他们共同努力，同时也有自己独特的贡献；互动强调的是面对面的交流、帮助、支持。

从本质上说，探究学习是一种发现学习，具有深刻的问题性、广泛的参与性、丰富的实践性和开放性。它要求在教学过程中，以问题为载体，创设一种科学研究的情境，通过学生搜集、分析、处理信息，独立地发现问题，获得知识技能，形成情感、态度、价值观的探究活动。探究学习的深度如何，主要看学生有无有问题意识和问题能力，问题的数量是否多，质量是否高。一节课中，学生提出的问题越多越好，说明教师善于启发；教师回答不上来的问题越多越好，说明学生的探究有深度。

当然，一节课不可能完全体现学习的自主性、合作性和探究性，但只要有一点体现得好，就是一节好课。

所谓“一个中心”，就是以学生发展为中心。我们传授的知识、教给的方法、培养的能力以及价值导向都应为学生的终身发展服务。

“两个基本点”，一是坚持“依标施教”，就是根据课程标准进行课堂教学活动。这是因为国家课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据。一个课程标准可以编写多套教材，我们在教学中所依据的不可能是“多套教材”，只能是唯一的课程标准。另外，这也和当前学业考试命题相一致。所以，评价一节课，主要看它是不是符合课程标准的基本要求和精神实质。二是坚持体现人文性、综合性、开放性和实践性。所谓人文性，就是要坚持以人为本。要求一节课的教学内容生活化、个性化、有地方特色等，教学形式丰富多彩。所谓综合性，就是要培养学生的综合能力，要求一节课本身应体现综合性，可以是相关知识的综合，可以是教学目标的综合，也可以是看问题的角度综合，等等。所谓开放性，就是要求教师的教学思想应是开放的，不只固定在某一种思想或理论上，而是博采众长，为我所用；教学目标是开放的，目标设定不仅限于教学内容的完成度，而是从学生整体综合素质的提高、人文精神的培养等多方面入手；教学内容是开放的，改变学科教学的单一性，体现社会学科的综合性；教学结尾是开放的，一节课结束时应在总结、升华的基础上，激发学生对相关内容或问题产生继续学习的欲望，并使学生在课后主动收集信息、解决问题。所谓实践性，就是要教学中要理论联系实际，强调学以致用、分析解决现实问题。

什么是数学化

数学化是弗赖登塔尔数学教育思想的核心。弗赖登塔尔说，“用数学方法把实际材料组织起来，这在今天叫做数学化。”又指出，“只有用逻辑关系建立结构，它才成为数学，而这个过程就是数学化。”数学化是有层次的，一般而言，由低到高，有两个层次：一是横向数学化，即把生活世界引向符号世界；二是纵向数学化，即在符号世界里，符号生成、重塑和被使用。也可以这样理解：横向数学化生成生活与数学的联系，纵向数学化生成抽象数学知识之间的联系。在弗赖登塔尔看来，没有数学化就没有数学，对数学的教与学，也就围绕着数学化来展开。

如何实现数学化

案例：教学一年级内容“在两个箱子里分别装着9瓶和5瓶牛奶，一共有几瓶牛奶？”可以抽象成一个简单的数学问题：9和5合起来是多少？从实际问题剥离出简单的数学问题，就是思考、寻找具体问题情境中的抽象结构、建立数学模型的过程，是横向数学化。接着，列出算式“9+5”，探索：9+5应该怎样计算？这是纵向数学化活动，是创造算法化的过程。

案例：教学二年级内容“今晚开家长会，据统计，将有81位家长到会。会议安排在会议室进行。会议室要布置桌子，每张桌子可以坐6位家长（教师画了一个长方形代表桌子，桌子周围画了6个半圆代表人）。问：需要多少张桌子？”

学生甲：按照老师的提示，一张桌子周围画6个人，这样画了13张桌子，在第14张桌子周围画了3个人。得出结论，需要14张桌子。

学生乙：开始像甲一样画桌子，画了2张桌子后，他改变了方式，“太麻烦了”，用算式来做吧，81÷6=13……3。得出结论，需要14张桌子。

学生丙：直接用算式来算，81÷6=13……3。得出结论。

学生甲仅仅停留在实物操作的层面。当然，实物操作是实现数学化的重要的可视化的工具，也是必要的阶段。但是，仅仅停留在这样一个层面上，学生的思维就达不到较高的水平。没有抽象化和符号化，就没有数学。

学生丙处在符号操作的层面。仅仅用算式来表示，没有经过动手操作的过程，当寻求算式的意义的时候，往往会出现问题。比如，有的学生会回答说，需要13张桌子，还余3个人。其错误的原因在于没有经历数学化的完整过程。

只有学生乙经历了数学化的完整过程。先进行实物操作，然后用符号（即算式）来表示。由于有了动手操作的基础，学生自然理解了算式的实际意义。所以，当得到算式时，学生会得出需要14张桌子的结论。

案例：教学二年级“寻找余数比除数小的规律”

片断一：

师：余数与除数之间有什么关系？我们先来计算几道有余数的除法，再来看看余数的大小与除数有什么关系？（学生计算）

17÷4=4……1，

18÷4=4……2

19÷4=4……3

师启发学生得出“余数比除数小”

师：为什么余数一定要比除数小？学生大都说“不知道”。

片断二：

学生经历脑中分豆子，然后

师：现在我们不用实物分豆子，也不用脑中分豆子了，用算式来分豆子，将17粒豆子平均分到4个盘子里，怎样用算式表示？18粒呢？19粒呢？

生思考并写出相应的算式。

师板书：17÷4=4……1，

18÷4=4……2

19÷4=4……3

每写出一个算式后，请学生寻求算式的意义。

师：请同学们观察以上算式，你发现了什么？你能对你的发现进行解释吗？

学生汇报了好多发现后，有一个学生说：“余数要比除数小，因为，如果余数比除数大的话，还可以继续分。”

分析：片断一明确提出了目标——找余数和除数的关系。师生共同进行有余数除法的运算，通过观察算式，得到了余数比除数小的规律。学生是通过纵向的数学化得到这一规律的。由于学生缺了横向数学化的基础，丢掉了对意义的寻求，少了探索的时空，因而，学生没有真正理解余数的意义，也就很难理解为什么会有这一规律了。

片断二就比较好地解决了这个问题，帮助学生顺利地实现了数学化。教师提供给学生活动的时间，提供的问题也具有一定的开放性，教师不断地维持对意义的寻求，从而，教师引起并保持了学生的高认知水平。从横向数学化的角度来说，每看到一个算式后，教师都让学生结合分豆子来解释算式的意义，因而，在学生的头脑中加深了对余数的意义的理解，“余数就是剩下的不能再分的豆子”，其潜在的台词就是“余下的豆子数比盘子数要少”，更进一步的、稍稍抽象的台词是“余数要比除数小”。从纵向数学化的角度来看，通过比较、不完全归纳发现，余数1，2，3，要比除数小，因为余下的豆子数比盘子数要少，否则就可以继续分了。在寻求余数的意义的同时，也在寻求“余数比除数小”的原因，也在寻求余数比除数小的规律。余数的意义是基础，它有待升华为余数的规律，余数的规律要回到现实中去，必须寻求对余数意义的理解。

数学化应注意的几个问题

（1）创设有数学含量的情境

创设有数学含量的教学情境能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习数学环境。顾冷沅指出：“引起兴趣的有内容本身、内容的表达方式以及内容的学习方式等，但一味追求兴趣的教学活动也会出现偏颇，人们注意到，知识不总是好玩的，也不总是容易的，学习在本质上是一个不断克服困难的过程。对于学生的终身学习而言，长效的核心知识必须作为学生学习的真正主干。”数学课堂创设适宜的情境要根据具体内容，帮助学生更好地学习和理解数学知识，为学生学习数学服务，促使学生用数学的眼光关注情境，为数学知识和技能的学习提供支撑，为数学思维的发展提供土壤。数学课要上出数学味道来，体现数学的本源性。

案例：老师在教整数加法交换律时，创设了这样一个情境：老师准备了一个带长柄的勺子，请一名学生拿着它的末端舀汤放到自己的嘴里。一个学生上来试了试，怎么也喝不到汤。然后老师安排4个学生，分成两组，看哪个小组先喝到汤。学生逐渐明白，只有把汤送到对方饿嘴里，才能喝到。然后老师说，这就是生活中的交换律。

这个情境的确生活化了，学生的活动也很热闹，但是，这体现出加法交换律了吗？这是一种误导，生活中的交换律和数学中的交换律有着本质的区别，不可将交换律庸俗为生活中的交换。这个情境本身缺少数学的含量，缺失了数学的本质。

案例：教学北师大版三年级《小树有几棵》

教师利用多媒体出示教学情境图，引导学生观察。

师：同学们，你们知道植树造林对人类的好处吗?每年我们学校都要植树，那么今天我们来看一看，植树的活动中有哪些数学问题。

(设计意图创设学生所熟悉的植树这一生活情境，密切数学与现实生活的联系，同时对学生进行环保教育。)

2．请你认真观察图后和同桌说说你看到了什么，(一共有几捆小树?每捆有几棵?)你能提出哪些数学问题?

引导学生提出问题“小树一共有多少棵?”。

学生列出算式20×3，然后尝试计算。

教师结合生活具体情境，从实物-问题-算式，学生经历了横向数学化的过程，同时培养学生提出问题和解决问题的意识和能力。这情境数学含量高，又不花哨。

（2）遵循由实物操作到表象操作再到符号操作的认知过程

布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历三个阶段：动作认知、图形认知和符号认知，对应着思维发展的三种水平：操作水平、表象水平和分析水平。因而，对于小学生而言，一般要经历从实物到表象再到符号的三个操作阶段。但是，对于程度较好的学生，完全有能力直接进入形式化的符号操作阶段。另外，对于纵向的数学化而言，自然是从符号到符号的操作，但是，我们也应该看到，其最初的符号操作也还是依赖于直观和实物的。

案例：学生计算“9+5”时，处在动作认知水平的学生，可能会先数出9根和5根小棒，然后合在一起数，得出14根，他们利用实物的图式，还摆脱不了数数的具体操作；处在图形认知水平的学生，可能会先画出两堆小圆圈，一堆9个一堆5个，然后从5个中划出1个小圆圈并到另一堆，变成10个一堆和4个一堆，得出14，他们利用图形的图式，已经摆脱了动作，可以借助表象进行思维了；处在符号认知水平的学生，可以进行抽象的思维：9+1=10，10+4=14。他们利用符号的图式，有良好的数感和符号感。

（3）寻求形式化的符号的意义

完成从实物操作上升到符号操作这一数学化的过程，这只是完成了认知过程的一个方面。另一方面，要寻求符号表示的意义，形式化的知识只有回到现实中，才能实现自身的意义，也才能完成认知的使命；这也是保持高认知水平的需要，不断地追求符号的意义，才能激发学生认知的动力，提升认知的水平。

所谓优质教学，即高质高效、高水平高境界的教学，优质教学是我们的追求目标。优质教学具备以下基本特征：

一、深刻

深刻者，一针见血、入木三分也。“为了顺利地完成自己的任务，一个教师应当掌握深刻的知识”（赞科夫）。深刻意味着不是把教材看懂，而是看穿、看透，从而挖掘出教材的精髓内涵。一句成语说得好，深入浅出。教师把教材钻得深，悟出来的道理就透彻，这样讲起课来就简单，也即能够讲在点子上。正所谓“一语破的，一语解惑，一语启智，一语激情”。教师一句精辟的话，常使学生萦绕于脑际而终生难忘；一个生动的比喻常使学生抓住了知识的关键而茅塞顿开；一句幽默的批评常使学生放下包袱又惭愧不已。言不在多，贵在精当；语不在长，贵在适时；要语不烦，达意则灵。简洁是天才的姐妹，智慧的象征。一个科学家曾说过这样一句话：科学的秘密就在于把复杂的东西演变成为若干简单的东西去做。教师把课上得简单，实在是一种智慧、一种艺术、一种能耐、一种功夫、一种水平、一种境界，它决不是把教学简单化了，而是艺术化了、精良化了、高效化了，它就像一个杂技演员走钢丝的过程，走钢丝较之于走马路，其粗俗精巧之异显而易见。

总之，教师对教材钻研深刻，上起课来就会微言大义，发人深省，从而让学生听起来轻松，嚼起来有味。与深刻相对立的是肤浅，肤浅的实质是智慧的疲软，肤浅就像一锅二十七八度的温开水，即没有沸汤的那样的烫人，也没有寒冰那样的彻骨。因此，你不要指望从肤浅者的教学中去寻找刻骨铭心的印象。

二、独到

独到者，独具慧眼也。教师对教材要有真知灼见，能够于平凡中见新奇，发人之所未发，见人之所未见。这样，他的课就如同一首诗、一幅画、一段旋律、一项发明，是独一无二的创造，学生听这样的课就像是在独享一片风景。从心理学角度说，独到见解实际上是一种创造性思维，这种思维的特点之一是首创性。一位外国作家说：“第一个形容女人像花的人是聪明人，第二个再这样形容的是傻子”。首创性只承认第一，而无视第二，它拒绝雷同和模仿，鲁迅先生最欣赏第一吃螃蟹的人，也即是这个道理。特点之二是独创性。独创性是思维最宝贵的品质，任何新见解、新观点、新理论、新方法都是独创性思维的产物，教师的创造性教学源于教师的独创性思维。

独到的东西总会给人特别的、难忘的印象。独到的对立面是平庸，平庸的特征是从众。平庸者只肯定别人肯定的，也只否认别人否认的。至于那些应该肯定而别人没有肯定的东西，他是断然不会点头的；同样，对于那些应当否定而别人没有否定的东西，他也不会带头说不。所以，一般来说，你想从平庸者的教学中讨到什么让你开窍的钥匙，往往是徒劳的。

三、广博

广博者，知识广阔博大也。苏霍姆林斯基在《给教师的建议》中说：“教师所知道的东西，就应当比他在课堂上要讲的东西多十倍，以便能够应付自如地掌握教材，到了课堂上，能从大量的事实中选出最重要的来讲。”“在你的科学知识的海洋里，你所教给学生的教科书里的那点基础知识，应当是沧海一粟”。的确，教师不仅应该是他那一门学科领域的专家，也应是博览群书的饱学之士。五洲四海，古今中外，上下五千年，纵横八万里，他都应该有所跋涉，努力开拓知识面，深挖知识层，纵要深，像丁字形；横要宽，如宝塔状；纵横结合，双向并建，储学积宝。这样才有可能口含灵珠，游刃有余，讲起课来纵横捭阖，左右逢源，随手拾来，旁征博引，妙趣横生，见地别具，吐语不凡，从而给学生带来一路春风，使其如图进入一个辽阔、纯净甚至可以嗅到芬芳的知识王国，令学生流连忘返，全身心的陶醉。这样的课堂教学活动是教师在汲取人类文明史的丰富营养后，厚积薄发出来的艺术“精品”。它能让学生收到“听君一席话，胜读十年书”的奇效。

与广博相对立的是单薄、干瘪，知识贫乏的教师讲起课来干干巴巴，不善举例和比喻，不善联系和联想，不能把知识扩展和深化，枯燥乏味是其课堂教学的主要特征。

四、启发

启发是有条件的，就事论事，照本宣科，是谈不上启发性的。只有当教师对教材有深刻、独到的见解，并对自己要讲的一切都烂熟于心，确信无疑，“使其言皆若出于吾之口，使其意皆若出于吾之心”，他在课堂上才拥有可供发挥能动性的自由度，真正做到游刃有余、指点有方、循循善诱，从而使课堂教学散发出磁性和魅力。这才是真正意义上的启发。

启发的最高境界是以灵性启迪悟性。富有灵气的教师善于激疑布惑，诱导学生向着未知领域探幽发微，把学生带进“山穷水尽疑无路”的困境，然后或抛砖引玉，或画龙点睛，或点拨指示，或目示点头，或取喻明理，使学生对问题心神领会，如入幽微之境，突见柳暗花明，豁然开朗。

五、机智

教育机智是教师在教学实践活动中的一种随机应变的能力。俄国教育家乌申斯基曾说：“不论教育者怎样地研究了教育学理论，如果他缺乏教育机智，他就不可能成为一个优秀的教育实践者。”这是因为，课堂教学是一个复杂的人——人系统，它充满变化和问题。任凭事先如何周密的设计，教师总会碰到许多新的“非预期性”的教学问题，教师若是对这些问题束手无策或处理不当，课堂教学就会陷入困境或僵局，甚至还会导致师生产生对抗。而富有教育智慧和机智的教师面对偶然性问题和意外的情况，总能灵感闪现，奇思妙策在瞬间激活，机动灵活地实施临场应变。

教育机智就其实质而言乃是一种转化师生矛盾的艺术，是一种正确处理教与学矛盾的技巧，其要决是避其锋芒，欲扬先抑，欲进先退，变换角度，以智取胜。表现在语言艺术上则是直话曲说，急话缓说，硬话软说，正话反说，严话宽说。

六、绝招

名师常常身怀绝招，绝招使其教学锦上添花，如虎添翼，叫人赞不绝口。

教师的绝招是教师教学特长中的特长，是对某种教学技艺的精益求精、千锤百炼以至达到炉火纯青的地步，是一种令人叹为观止、甚至望而生畏、无人相匹的境界。如有的教师数学课从不需要圆规、三角板，但画出的几何图形，尤其是圆就像十五的月亮，丝毫未差；有的教师能根据课文的叙述，在黑板上信手挥来，画出栩栩如生的图画，再现课文优美意境，令学生十分惊叹；有的教师一笔潇洒流畅、秀丽多姿的板书，使学生羡慕不已，反复临摹，不忍擦去；有的教师幽默风趣、妙语迭出，常引得学生忍俊不禁、笑声频繁，让学生在轻快的气氛中领悟深刻的哲理，步入知识的殿堂。

我们期待这样的教学：见解深刻、独具慧眼、旁征博引、循循善诱、充满智慧、精益求精。从有效教学走向优质教学，也就意味着教师从一般教师走向优秀教师；从普通教师走向教学名师；从经验型教师走向专家型教师。任何课程改革、教学改革都是对优秀教师、教学名师、专家型教师的呼唤！

让学生在游戏活动中学习

游戏是低年级儿童感兴趣的学习活动。在他们的生活中，游戏与学习是不能截然分开的，而是互相渗透的。学生在游戏中可以顺利地掌握新的学习内容，同时，学生创造性的自我表现、独立性和积极性的情感体验正是在游戏中形成和发展起来的。游戏在整个小学教育过程中起着重要的作用。教师要尊重儿童喜欢游戏、喜欢玩的特点来设计教学活动。

案例：一位老师上人教版一年级《平移与旋转》一课，老师把学生分成4人一组，给每组准备了生活中儿童喜欢的玩具：砣螺、小风车、小汽车、积木等，每生选择自己喜欢的玩具尽情地玩。学生看到自己喜爱的玩具，迫不及待地拿起玩具无所顾及地玩了起来，顿时课堂非常活跃。有的同学把风车飞的很高，飞到了别处，拍着手到别处捡去；有的同学在比赛，看谁的砣螺转得久；有的同学在比赛，看谁的汽车跑得快，结果汽车跑到了地板上，钻到了桌子底下。一阵阵掌声，一阵阵笑声，孩子们沉浸在欢乐中。学生有充足的活动体验后，老师微笑着请学生说说玩具是怎样运动的，同学们个个争着说，有的边说边比划，有的边说边表演，他们真正感受到了学习的乐趣，陶醉于学习之中了。

“玩”是儿童的天性，是儿童最乐意做的事。“玩中学”，能使学生在愉悦的情绪中不知不觉得到收获，能使学生保持旺盛的学习热情而产生向往学习的情感。黑格尔曾经说过：“我们简直可以断然声明，假如没有热情，世界上一切伟大的事业都不会成功。”赞科夫说：“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，触及学生的精神需要，这种教学法就能发挥高度有效的作用。而如果照着教学法指示办事，做得冷冰冰、干巴巴的，缺乏激昂的热情，那是未必会有什么效果的。扎实地掌握知识，与其说是靠多次的重复，不如说是靠理解，靠内部的诱因，靠学生的情绪状态而达到的。”教育者根据儿童的年龄特征和学习内容的特点给儿童创造劳动的欢乐，和儿童一起在欢笑中经历学习过程，这种教学方式难道你不喜欢吗？

让学生在操作实践中学习

学生的亲身体验和感知有利于获得感性经验，从而实现其认识的内化、促成理解力和判断力的发展，学生正是通过摆弄学具获得关于客体的表象，进而上升为理性认识。教师要尽量给予学生更多的操作实践机会，提供丰富的材料，使学生可以亲自进行实验，体验成功和失败、探讨问题和寻求结论。

案例：教学北师大版三年级《什么是周长》

描一描，说一说

1、同学们，现在是什么季节?秋天是树叶飘落的季节。老师从网上搜集到了各种各样的树叶图片，想欣赏一下吗?请看(播放课件)这些树叶漂亮吗?想不想描下它们的形状来?

请你拿出一张纸，选择一片最喜欢的树叶，用彩笔沿着树叶的边线一笔描出它的轮廓来。开始吧!

2、好!谁愿意来给大家演示一下是怎么描的?(实物投影展示)

请用笔指着，说清楚是从哪里开始的，又到哪里结束。

描的对吗?表达得非常清楚，请回。

3、你们是从哪里开始描，又到哪里结束的?(说得真好!谁再来说?)

4、小结：看来，不管从哪里开始，大家都是沿着树叶的边线描了一周，请看(动态演示)，这一周的长度，我们把它叫做树叶的周长。(板书课题：周长)

5、你能描出下面图形的边线吗?

请拿出纸，选择一个自己喜欢的图形，用一笔描出来。

描完后在小组里相互交流一下。

刚才同学们沿着图形的边线描了一周，这一周的长度就是图形的周长。

找一找，摸一摸

1、你能从我们身边找一个例子说说什么是周长吗?下面请你们同桌合作找一找，并且摸一摸它的周长，也可以下位找。(指导：地面周长、课桌面的周长、课本封面的周长、黑板面的周长、鞋底周长)

2、谁来说一说你们找的结果?你可以边说边指一指。

量一量

1、大家找到了很多，是吗?看来周长在我们生活中无处不在，而且周长的应用也非常广泛。比如，我们去做裤子时，裁缝都要量一量你的腰一周有多长，也就是平时所说的腰围。

2、现在请大家估计一下老师的腰围大约是多少厘米?

估计的准不准呢?谁来量一量?(注重测量方法的指导：腰围怎么测量?)告诉大家测量结果。

3、根据这个结果，请你估计一下自己的腰围是多少厘米。

同桌合作量一量。

谁来说说自己的腰围?看来同学们的腰围大约在60 cm左右。

让学生在合作交流中学习

现代心理学研究表明，教学中学生之间的互动能提高学生的学业成绩和社交能力，改善人际关系，形成良好的学习品质。在课堂教学中，如果想要增进教师与学生、学生与学生之间的相互作用，讨论和以小组为单位的学习是最恰当的选择。如果教师希望帮助学生形成更独立的更有责任心的学习方式，小组讨论的策略也是帮助教师实现这一目标的最佳选择之一。教学中要提倡合作交流的课堂气氛。学会合作与交流的能力是现代社会所必须的，也是数学学习过程应当提倡的组织方式。在设计教学计划和组织课堂教学中，经常给学生提供合作与交流的机会，使学生在合作的过程中学习别人的方法和想法，表达自己对问题的看法，从而学会从不同的角度认识数学，养成与别人合作与交流的习惯。教师要在交流和研讨中营造一种民主的氛围，使学生由被动地听讲变为主动参与、敢于发表自己独特的见解，并学会倾听、尊重他人的意见。在交流研讨的活动中使学生的思维方式、认知水平、交往能力等得到一定的提高。

案例：教学北师大版三年级《摸球游戏》中“可能性大小”

师：下面老师再改变盒子里黄球、白球的数量，变为9个白的、1个黄的。我们看看，摸出其中的一个球，是摸中黄球的次数多，还是摸中白球的次数多?

(生举手)

师：大家把自己的猜想，用半分时间在课本上记下。

(生填写课本“想一想”)

师：想不想自己摸球来验证猜测?

生：(几乎异口同声)想。

师：那我们以“小组合作”的学习形式来完成学习任务。

(出示“小组合作”的操作步骤)

(1)几人轮流摸球，摸出一个球记录一次是什么颜色，然后把球放回盒内再摸。

(2)统计时，白球用字母B表示，黄球用字母H表示。

(3)小组交流：实验结果与你的猜测一致吗?为什么会出现这样的实验结果?师以一小组为例，逐条讲解示范，并提出要求：安静、迅速，按步骤操作。

(各学习小组愉快地摸球、统计，讨论。教师巡视学生实验结果。)

师：谁汇报一下小组交流情况?

生1：我们组摸出的白球次数多，黄球次数少。

生2：我猜对了，摸出白球次数多、黄球次数少。

生3：和我的猜测一致。因为盒子里白球多、黄球少，所以摸出的白球次数多、黄球次数少。(生不由自主地鼓掌以示表扬。填写课本“填一填”，并齐答。)

师：摸中白球的次数多，说明摸中白球的可能性……(生齐答：大)；反过来说，摸中黄球的次数少，说明……(生齐答)

师小结：这个游戏告诉大家，虽然事情的发生是不能确定，但是可能性是有大有小的。

对儿童来说，概率知识是很有吸引力的，动手收集数据的过程常常体现为令人愉快的游戏。学生通过自己的实验，在亲历、体验的过程中感悟、体会到事情发生的可能性的大小。合作学习的形式既能发挥集体的智慧，又能展示个人多方面的才能。此环节通过学生的合作学习，使他们体会与他人交流的快乐，同时促进学生个人的完善与发展。

这里需要说明的是，在组织小组讨论时教师要把握好以下几个方面。

一是要选择好讨论的内容。一般地说，在新知探求过程中，在知识的重点、难点和学生学习的疑点处，都可以组织相应的小组讨论。

二是要把握好讨论的时机。讨论缘于教学的需要，讨论的次数也应视需要而定。在一节课里，可以是一次、两次甚至于三次。当然，如果不需要讨论的话，即使是一次，那也是多余的。

三是要确定好讨论的规模。小组讨论的规模可大可小，两三人乃至五六人均可，应视内容而定。在小组讨论前，也可先组织同座（两人）议论，作为“预热”，激发潜在的学习兴趣，再转入小组讨论。

四是在课堂讨论时要逐渐训练学生三方面的技能：（1）听的技能。首先，要培养小学生专心倾听别人说话的习惯。在课堂上，教师不仅要求学生能专心、听老师的讲话，而且要认真地听课堂上每个同学的发言。其次，要听出别人意见的要点，也就是要培养在信息加工过程中善于处理信息的能力；最后，要听后能作出思考，也就是对别人所说的话作出判断，有自己的见解。（2）说的技能。首先要培养学生敢说的勇气；其次，在要求学生说话时要让别人听得见，而且条理要清楚，要说完整话；第三，要求说话要简练，要有重点。学生的说话能力及个性都是有差异的，因此，教师对每个学生的说话要在以鼓励为原则下，让学生明确努力的方向。（3）交往的技能。在交往中，首先要尊重人，讲文明礼貌，善于采纳别人的意见，修改和补充自己原来的想法；其次，既要善于认识自己的情感，并能调控自己的情感状态，又要善于觉察别人的情感，以使彼此间的交往更加有效；第三，要加强交往中具体技能的训练，比如，别人说话时，自己应如何注视对方；在恰当的地方，打断别人的话，陈述自己的观点；自己说话时又如何让别人有插话的机会等。

让学生在探究发现中学习

在教学中，教师要为学生创设发现数学知识的活动情境，让学生的学习过程成为一个再创造、再发现的过程。这种过程应突出学生自己如何探究知识、如何生成“结论”，突出思维方式和思维习惯的训练和培养，突出解决问题的途径和方法的获得，而不仅在知识结论的记忆上。

案例：北师大版三年级《分桃子》一课中探究“0除以任何不是0的数都得0”教学片断。

师：每只小动物分得12个大桃子，兴高采烈地回家了。可是最爱吃桃子的是猴子呀!(课件出示4只猴子也来到这棵桃树下，找桃子吃的情境图)它们抬头一看“啊，树上一个桃子也没有了!”猴子们显得很失望。大家想一想，树上没有桃子了，用数怎样表示?

生：用0表示。

师：树上的桃子数是0，那么这树下的4只猴子，平均每只能分得几个桃子?该怎样列式呢?

生：它们谁也分不到桃子。

师：请说说你是怎么想的，好吗?

生：因为树上没有桃子。

师：有道理。那么谁能把这个道理完整地讲给大家听?

生：树上的桃子数是0，树下的每只猴子肯定都分不到桃子，所以0除以4得0。

师：怎么用式子表示这个意思呢?

生：0÷4=0。

师：叙述得真清楚!(继续点击并讲故事)就在这4只猴子犯愁的时候，又从后面追来了一只小猴子，它也想分到桃子。大家看一看，这时树下共有几只猴子?平均每只猴子能分得多少个桃子?用算式怎样表示?

生：0÷5=0。

师：假如再来一只猴子或再来10只猴子呢?你还会列式计算吗?

生：会。0÷6=0，0÷15=0。

师：同学们，仔细观察上面的算式，你发现了什么?

(学生思考、交流。)

生1：0除以任何数都等于0。

生2：不对! 0不能做除数。

师：对，0不能做除数。那应该怎么说呢?

生：0除以任何不是0的数都等于0。

师：大家同意吗?

(学生异口同声：同意。)

生：老师，为什么0不能做除数呢?

师：是呀，其他自然数都能做除数，为什么0不能做除数呢?太不公平了!那好，今天咱们就给0一次机会，让它做一做除数，试试看行不行。

(教师板书以下算式，学生试做。)

0÷0= 5÷0=

(学生运用乘法口诀进行计算，个个皱起了眉头。)

生1：我在算0÷0时，商是1能行，是2也行……是几都行。

生2：我在算5÷0时，找不到商，因为任何数与0相乘都不等于5。

师：同学们，通过这两种情况我们就明白了0不能做除数的原因：

当0÷0时，商不确定；当5(或其他不是0的自然数)÷0时，又找不到商。所以0不能做除数。

(学生个个豁然开朗，不由自主地点点头。)

这一片断的教学， 教师通过引导使学生在自主探究中学习、发现。由旧知引出新问题，探究新问题，实现旧知识向新知识的迁移，体现了数学教学建立在学生已有的认知水平基础之上的轻松和愉悦。同时很注重课堂的生成，不放过学生每一个思维的火花。

首先给大家介绍一个资料。

案例：《教育，别把学生越教越笨》

有一个问题很简单，但是它难倒了许多人，这个问题最通俗却又最发人深省，这就是华东师范大学教授张奠宙在“21世纪创新教育论坛”上所讲述的一个问题－－“一条船上有75头牛，32头羊，问船长几岁？”，在法国，有64%的学生得出答案：75－32=43岁，其实这个问题是没有答案的。而学生之所以这么回答，是因为他们已经习惯了所有问题都是有标准答案的。一位美国教育家因此评论说，这就是学校把学生越教越笨的典型事例。而在中国的小学和初中测验，竟有超过90%的学生得出这个答案，甚至在某重点中学的高三，仍然有学生得出43岁的答案。

由此，张教授在论坛上大力呼吁，要鼓励学生独立思考敢于提出不同意见。他强调：“创造应该从问题开始”。李政道曾说，我们中国的传统是做“学问”，你们为什么老是做“学答”？意思是现在的学校，成天要学生回答试卷里的题目，即“做学答”，然而学习是从“发问”开始的，没有自己的问题，就永远没有创造。

“别把学生越教越笨”的呼吁赢得一片赞同的声音，一位来自美国康涅狄格大学的教授则进一步扩展了张教授的发言。这位阿其姆博尔特教授认为教育改革的关键在于改变教师。他说：“要培养人才首先要培养教师，教师应该不断进修，学校管理也要不断改进，在课堂上，老师所扮演的角色要变，他在课堂上应当是一个平等的信息传播者。” 美国教授还激动地回忆起他心目中最优秀的一位老师，他说：“ 那是一位英语老师，他是耶鲁大学毕业的，他鼓励我发展个性，告诉我要敢于接受挑战，要从不同角度去看待问题，他引导我打开文学大门，让我领略各种伟大的思想，他就是一位最优秀、让人感到幸福的老师。”

张教授和阿其姆博尔特教授的话语，能否使我们的老师受到启发，从而成为“最让人感到幸福的老师”，然后把学生越教越聪明呢？

教学是给予，更应是期待

教学是给予，把规律性的东西直接给学生，这是没有疑问的，学生直接接收教师传授的前人的经验这个不错。但新课改只是停留在教给的层面上，就显得单调了，就显得档次低，与新课标提倡的不合拍。新课改提倡的教学不单单是给予，而应是在给予学生的同时要尝试运用激发、期待等方式，唤起学生求知欲，让学生亲手探究探究，亲自尝试尝试。

一次学年末考试，由于出题者的失误。在小学二年级数学试卷上出现了一道用72÷4的除法算式，这已经超出了教材的范围。考场外任课教师焦急万分，叫苦不迭。然而，在阅卷中，教师发现针对此题，学生的思路可谓“丰富多彩”：

有的学生从4×10算起，一步一步地算4×10=40，4×11=44……4×17=68，4×18=72，

得出72÷4的答案为18；

有的学生画出72根小棒，一根一根地平均分成4份，得出结果为18；

有的用4×9=36，72—36=36，36÷4=9，9+9=18，即先分给每个小组9个，剩下的再分给每个小组9个，合起来每个小组共分得9+9=18个；

有的学生用72÷4=9……36，36÷4=9，9×2=18，思路跟上面相类似；

有的学生用72÷4=10……32，32÷4=8，10+8=18，即每小组先分10个，剩下32个再每组分8个，这样两次共分得18个。

命题的失误，给了学生一个难得的尝试机会，也让我们看到了学生的闪光点，同时也反照出教师教学的束手束脚的弊端，确实令人深思。这个案例提醒我们，教师在教学中要大胆给学生信任，给学生期待。要充分尊重学生的智慧，把学生看作是具有创造性的生命主体。

我们不得不承认，在很多时候教师低估了学生的潜在能力，觉得这个太难那个太复杂，学生自己肯定做不来，因而不给学生尝试的机会。这样一来，学生潜在的创新思维就被这种“好心”给抹杀了。尝试给学生探究的机会，给学生一些期待，通过较多的途径，让其尝试，撞击成功，铸就成功。就算学生不一定能做到我们所预期的那么好，但让他们试试又何妨?说不定会再现案例中我们想象不到的一些意外与惊喜呢。

教学是传授，更应是放飞

教学中，教师通过讲授来传授知识，这是最基本的也是行之有效的教学手段。这个不能因为落实新课标而作简单的否定。但仅仅停留传授上，教学就会枯燥、单调，而失去艺术魅力，使学生由人变成了接收知识的容器。

在美国，一个上幼儿园的孩子回到家。他高兴地告诉妈妈老师教他们字母了。妈妈说： “都教了什么呀?”孩子说：“老师教了字母‘O’，老师说‘O’就是‘0’。”就这一句话却引来了一场官司。孩子的母亲控告幼儿园，说他们的做法限制了孩子的想象。那位母亲说：“在我孩子的眼中，‘O’可能是一个太阳，是一个苹果，是一个茶杯，是一个圆盘等等。可是老师说了‘O’就是‘0’，我的孩子就不会再有别的想象。孩子失去了想象是多么可怕，这对他一生有非常重要的影响!”盛怒之下，这位母亲重金聘请律师打官司。律师控诉说：“幼儿园告诉孩子‘O’就是‘0’，这就是限制孩子的想象力。就好比把孩子想象的翅膀剪断了，孩子没有想象空间，无法想象。这，就是对孩子的犯罪。”最后，法院支持了那位母亲的意见。

美国华盛顿大学教授、1992年诺贝尔医学奖得主埃德蒙·费希尔去年11月10日在同济大学演讲台上，忠告中国学生：“除了学习扎实的知识，更重要的是要留点时间去梦想。”他认为把太多信息塞入大脑，会让学生没有时间放松，没有时间发展想象力。爱因斯坦曾坦言，他从不记书上查得到的东西。他是要为脑袋腾出足够多的空间来，好让他横生妙思、自由飞翔。

想象的天空星光灿烂。而要看到这星光灿烂的情形，还必须让孩子要有一双腾飞的翅膀。新课改，就是要想方设法放飞孩子，鼓励孩子能飞起来，让他们自由翱翔，我们教师再不能满足于做一个只会传授知识的教书匠，更不能简化成一个只会组织考试、阅卷的机械工具。我们要多吸收新鲜的东西，勤琢磨，敢创新，做学生心灵的朋友，乐于开启学生的思维，放飞学生的想象。要像荷尔德林说的那样，带领学生诗意地栖居在大地上，要像法国帕斯卡说的那样，做一棵会思想的芦苇，还应该像陈寅恪说的那样，努力锻造“独立之精神，自由之思想”。

给梦想多留点时间与空间吧，我们的学校、我们的课堂才能真正成为学生成长的舞台——涵养精神的沃土，翔舞想象的天空，品味生活的“梦想剧场”。

教学是解读，更应是点燃

新课堂应该是促进学生发展的课堂，解读是必要的，但只停留在喋喋不休的解读上，那是远远不够的。要尝试用自己思想的火种点燃学生思想的火花。

曾听说，美国教育代表团到内地听一堂优秀教师的课，教师提出的每一个问题学生均给予满意的答复。该讲的都讲到了，没有什么疏漏，学生配合得天衣无缝、相当完美。课后，执教老师、陪同的领导都感觉良好：给中国人争了面子。当征询美国教育同行的意见时，他们说了一句十分耐人寻味的话：既然学生已经全部都会了、懂了，教师上这堂课还有什么意义?换句不客气的话说，这堂课是毫无意义的，因为它根本没有促进学生发展，没有让学生经历由不知到知的探索、思考过程，课堂上也没有学生生成的东西，这不过是一次师生同台的表演，表演了中国课堂教学的过程，表演了中国公开课的做秀成分。

上海师范大学与美国一所大学举行暑假大学生文学阅读交流活动，在对同一篇非本国文学作品的阅读接受中，我国学生的读后感写得居然几乎千篇一律，而美国学生的阅读感却各不相同，甚至千奇百怪、别出心裁，其中不乏独到与精辟的见解也是自然的了。这又从一个侧面反映了我们的基础教育教学过于强调规范、标准，在整齐划一中消弭了教学的丰富性与复杂性，在追求共性中扼杀了教师的教学特点，在强调同一标准时压抑了学生的创新思维。

确实，时到如今，光讲解难以完全体现新课标的理念。新课改的教学还应创设一个释放学生心灵的场景，让学生在思维的交锋中，情感的碰撞里，实现真正的知识建构。让学生充分地说出他们的所思、所想、所感、所悟、所疑、所惑。问题让他们去提，问题让他们去议，答案让他们去辨，结论让他们去得。教师要当好课堂的组织者、引导者和促进者，教师要在课堂中和学生一同成长。让学生亲历领悟和体验，因为结果重要，过程更重要；知识重要，方法更重要。新的课堂教学更应促进学生知识和思维的并进与发展，态度和价值观的发展与超越。

教学是说教，更应是呵护

教师们都把竭尽所能的做到传统意义上的说教、指点，作为自己义不容辞的责任和义务。但是，我们是否想过，在成天干巴巴的说教与严格要求中，我们有时会适得其反。如若我们尝试理解孩子的所思、所想、痛苦和烦恼，给些呵护，会比说教更具有教育性。

在《人生的偶然》中讲了这样一个精彩故事：她十六岁时，很平常，学习下等，常和一些社会上打工的女孩混在一起。那时她初二，不知道自己的明天在哪里。一次期中考试前，她得知另一所学校已经考过，于是得到了一张试卷。她几乎把它背了下来，如果按她的真实水平，只能考30多分吧，但那次她考了全班第一。让她没想到的事还在后边，所有人都怀疑她作弊了，但就是作弊也不可能考98分啊，只有老师表扬并鼓励了她，说她进步很快，以后肯定还会考出更好的成绩。那一刻，她差点流泪了，她没想到老师相信她，况且同学们对她的羡慕让她体会到了一种从来没有过的喜悦和兴奋，原来，学习好了可以如此自豪!从那以后，为了证明自己没有作弊，为了对得起老师那句话，她发了疯一样开始学习，并从中体会到了学习的乐趣。不久，她的学习成绩果然跃居全班第一。一年后，她考上重点高中。三年以后，她考上了北大。几年之后，她去美国留学了。十几年后她回母校作报告，说了自己的故事。当时已经白发苍苍的老师对她说了真相：“孩子，当时我就知道你是作弊了，因为以你的能力不可能考98分。但我想，也许你能从此发愤，所以我给了你鼓励和信任。”那一刻，她的泪水流了下来，在人生最关键的时刻，那个最明白她的人，没有把她当贼一样揪出来，而是给了她鼓励，让她的人生从此与众不同……笔者真从心底里佩服这位老师，竟用如此的谎言编织了一个教育的意外精彩。只要我们心中蓄满爱，悉心呵护学生的自尊，我们也会上演出教学精彩的乐章，也许一个不起眼的教学细节，能从此改变学生的整个人生。

生命需要呵护，呵护孕育着创造。我们面对的学生不应是盛知识的口袋，不应是考取分数的工具，而是有血有肉有情感的人。学生是鲜活的生命体，他们不但需要知识，而且更需要具体地理解与信任、宽容与呵护。

记得一位名家说过：“只有那些始终不忘记自己也曾是一个孩子的人，才能成为真正的教师。”不忘记自己曾经是孩子，才会理解孩子。理解孩子，爱才会具体而丰富，才会无处不在，才会使师生之间、学生之间充满温馨。理解孩子，尊重孩子，才能从心灵里呵护孩子，课堂上才会有民主，才会充满情趣，老师精心设计的教学方案才能得以顺利实施，学生的潜能才能被极大地激发出来，使学习变得轻松而有效，使课堂教学精彩纷呈。

总之，新课改的教学不是传统教学的翻版，也不可能是全盘否定传统教学基础上全新套路，而是在遵循教学规律上的新旧教法的融合与提炼，是带着深深个性烙印的重组与整合。不是一个统一的、现成的套路，而是因人而异，别具一格的。它又是动态发展的，在不断探索的流程中诞生，在不断的矫正中充实，在不断的充实中发展着的，教学永远没有一个固定的模样，真正的教学永远是多姿多样，异彩纷呈的。

建立平等的师生关系

教育的起点和旨归是人的生命，我国新一轮基础教育课程改革的生成性、丰富性、复杂性深刻揭示了其内在的生命性。课程标准的“三个维度”就体现了生命发展的三个统一：知识与能力的统一，过程与方法的统一，情感态度与价值观的统一。正是从这个意义上说，教育要走进学生的生命世界。

教育是生命与生命交流的过程，也是生命自主、能动发展的过程。从这一高度出发，教育就是要保护人的天赋，保护人的自主意识，保护人的创造个性，保护人的完整人格。就是说，教育应依据人的生命特征，遵循人的生命发展的规律和原则，促使人的生命走向更加完整、和谐与无限的境界，引导人的生命进入实践、创造、发展的新天地。

教学中注意把和谐的师生关系带进课堂，在教学活动中，只有对小学生热爱、尊重、理解和信任，才能发挥学生的学习主动性、积极性。教师要善于用亲切的眼神、细微的动作、和蔼的态度、热情的赞语等来缩短师生心灵间的差距，使学生获得精神上的满足。尤其是学习差的学生，对他们更要少批评多鼓励。从而建立和谐民主的教学气氛，使学生产生与教师合作的欲望。教师为孩子创造的愉悦、和谐的课堂气氛，必然会给孩子创设良好的心理条件，有利于健康的心理素质的培养。课堂教学中积极提倡：答错了允许重答；答得不完整的允许补充；没有想好的允许再想；不清楚的允许发问；不同意见允许争论；教师错了允许补充；甚至必要时允许学生不举手自由发表意见。课堂上鼓励学生敢于提出问题，善于提出有价值的问题，并能解决各类问题，特别是能解决许多实际问题。让学生从小受到在不同条件下运用不同方法去解决不同问题的训练，从而有效地促进学生创造能力的发展和主体精神的培养。

精心设计板书

板书是一种书面语言。教学过程中，教师在黑板上书写的文字、符号，画出的几何形体、简笔示意图，以及配合教学的需要粘贴的纸条、挂图等都属于板书。它是课堂教学的有机组成部分，与教师的口头语言相互配合、相互补充，各司其职、各尽其能。成功的板书是教师结合教学内容与教学的实际情况精心构思出来的。有的简明扼要，犹如一份微型教案；有的眉目清楚，展示概念、法则、公式、定律、性质的形成与推导过程，分析数量之间的关系，一目了然，便于理解和记忆；有的画龙点睛，揭示规律，重点突出，给人留下深刻的印象。板书要注意：（1）注意板书内容的整体性。（2）注意板书内容的概括性。（3）注意板书内容的条理性。（4）注意板书内容的直观性。（5）注意板书内容中的计划性。

教书与育人相结合

促进学生在知识、能力和思想品德几方面的全面发展，这既是素质教育的又一本质特征，又是它的一项核心任务。学会做人是构建和谐社会的基础。

小学是实施义务教育的第一阶段，是促进人的心理全面发展的奠基工程。在整个小学阶段，小学生数学知识的掌握，数学能力的培养，课业负担是否过重，心理素质能否得到发展，都直接影响到他们个性的全面发展，对他们的一生均有深远的影响。

①增强教书育人的意识

教师要充分认识教书育人的重要性，理解思想品德教育的内涵，有意识、有目的地结合数学教学进行思想品德教育。

首先，教师在数学教学中增强思想品德教育的意识，提高精神品质素养教育的自觉性。其次，深入挖掘小学数学教材中的精神品质素养教育的因素，明确教育的内容和要求。小学数学教材，作为融知识传授、能力培养和思想品德教育为一体的综合性载体，它本身就具有促进学生全面发展的教育功能。教师可以结合教材有关内容，适时选择富有教育意义的、形象生动的插图，有说服力的数据和统计材料，以及我国数学史上的优良传统等内容，使学生受到爱祖国、爱社会主义、爱科学的教育。例如，我国领土辽阔广大，东西相距约5000千米，南北相距约5500千米，领土面积约960万平方千米；我国的长江是世界上第三大河，长6300千米。在讲“百分数的认识”时，引用这样的数据：“中国人民用占世界耕地面积7%的土地，养活了占世界上21%多的人口。”简单的两个百分数，自然地进行了国情教育、人口教育。还可以通过介绍祖冲之在1500年前计算出圆周率π在3.1415926和3.1415927之间，比欧洲早1000年，从而增强学生的民族自豪感和自信心，进行爱国主义教育。

②渗透辩证唯物主义观点的教育

由于数的产生和发展依赖于人的实践活动，数学中的一些概念和运算方法与实践密切相关，数学概念的形成不单是由于客观世界本身存在着量的规定性，还取决于人们测量、计量、度量和操作实践，因而在概念教学时，密切联系实际，向学生渗透一些“实践第一”的观点。例如，教师有意识地把加与减、乘与除、积与商、正比例与反比例、等与不等、分解与组成等种种联系形象地提示出来或让学生去发现，渗透矛盾的对立统一观点；通过引导学生发现概念之间、公式之间、几何图形之间、量与量之间、比与除法和分数之间等相互关系，渗透事物之间相互联系的观点；通过“变中抓定”、“一题多解”、“多题一解”、“一题多变”等训练，渗透事物运动、变化、发展的观点。

③ 培养良好的学习习惯

结合课堂教学，教师要有目的、有意识地培养学生认真的学习态度，独立思考、不畏困难的精神，养成计算仔细、思考认真、书写工整、检验一丝不苟、听讲聚精会神、答问井井有条，以及课前自觉预习、课中主动参与、课后及时复习的良好学习习惯。