1.2.3交通流模型

1.2.4叠加原理

习题1.2

2特征线法与行波法

2.1特征线法

2.1.1一阶常系数线性方程求解

2.1.2一维波动方程的通解

习题2.1

2.2达朗贝尔公式

2.2.1达朗贝尔公式的导出

2.2.2传播波

2.2.3依赖区间、决定区域和影响区域

习题2.2

2.3三维波动方程的柯西问题

2.3.1三维波动方程的泊松公式

2.3.2泊松公式的物理意义

2.3.3降维法求解二维波动方程的柯西问题

习题2.3

2.4齐次化原理及应用

2.4.1齐次化原理

2.4.2齐次化原理应用

2.4.3高维非齐次波动方程的柯西问题

习题2.4

3分离变量法

3.1直角坐标系下的分离变量法

3.1.1有界弦的自由振动问题

3.1.2有限长杆的热传导问题

3.1.3分离变量法总结及固有值问题

习题3.1

3.2极坐标下的分离变量法

习题3.2

3.3非齐次方程问题与非齐次边界问题

3.3.1非齐次方程的特征函数法

3.3.2非齐次边界问题

习题3.3

4格林函数法

4.1狄拉克函数与基本解

4.1.1狄拉克函数

4.1.2泊松方程的基本解

习题4.1

4.2格林公式及格林函数

4.2.1散度定理与格林公式

4.2.2泊松方程狄利克雷问题的格林函数

习题4.2

4.3特殊区域上的格林函数及应用

4.3.1格林函数的求法

4.3.2格林函数应用

习题4.3

5积分变换法

5.1傅里叶变换与拉普拉斯变换

5.1.1傅里叶变换及其性质

5.1.2拉普拉斯变换及其性质

5.1.3典型函数的积分变换

习题5.1

5.2傅里叶变换应用举例

习题5.2

5.3拉普拉斯变换应用举例

习题5.3

6特殊函数

6.1贝塞尔函数的推导

6.1.1幂级数解法

6.1.2贝塞尔函数

习题6.1

6.2贝塞尔函数的性质

6.2.1贝塞尔函数的递推公式

6.2.2贝塞尔函数的零点与正交模

6.2.3函数按贝塞尔函数系展开

习题6.2

6.3贝塞尔函数的应用

习题6.3

6.4勒让德函数

6.4.1勒让德方程的求解

6.4.2勒让德多项式

习题6.4

6.5勒让德多项式应用

6.5.1函数按勒让德多项式展开

6.5.2球形区域上调和方程边值问题求解

习题6.5

7极值原理与能量估计

7.1泊松方程的极值原理

7.1.1极大值原理

7.1.2泊松方程边值问题解的最大模估计

7.1.3强极值原理

习题7.1

7.2热传导方程的极值原理

7.2.1极值原理

7.2.2第一边值问题解的唯一性

7.2.3解的最大模估计

习题7.2

7.3波动方程的能量估计

7.3.1振动的动能和位能

7.3.2初边值问题解的唯一性与稳定性

习题7.3

附录A傅里叶变换函数表

附录B拉普拉斯函数表

附录C高斯函数和误差函数

附录DΓ函数

部分习题答案及提示

参考文献

偏微分方程在物理学、工程技术和其他科学的许多领域都有着十分广泛的应用。在上述研究领域中经常出现很多描述某些物理规律的方程，统称为数学物理方程。通过对这些方程的求解，一方面可以得到极有实用价值的结论，另一方面又可以促进这些领域的发展。因此，数学物理方程这个学科应运而生。数学物理方程既可以作为一门纯数学学科来研究，也可以作为一门应用数学学科来研究。对广大科技工作者及理科学生来说，学习数学物理方程的目的在于应用。因此，本书为了适应这些读者的需要，从选材上就有侧重，主要涉及的不是一般数学理论，而是尽量为读者提供与数学物理方程有关的基本概念、基本原理和解题的各种方法及技巧。

2004年以来，本课程组一直为本校通信工程和功能材料等工科专业及数学相关专业本科生讲授“数学物理方程”课程，深深感到编写一本既符合专业需要，又具有较广泛适应性的书是多么迫切。基于这种共同的认识，本书根据实践教学的经验，结合国内外经典教材的优秀特点，经过修改补充后编写而成。尽管数学物理方程是一门数学专业基础课，本书并不一味追求教学理论上的严密和完备，而把重点放在问题的物理含义和基本解题方法上。有些数学原理（定理）只作些说明就可使用，省略的证明部分在参考书籍中可查到。适当增加应用举例部分，综合应用数学物理方法去解决实际问题，使学生开阔眼界，进一步提高处理实际问题的能力。另外，计算机模拟已经成了现代科学研究中的重要的手段，本书在适当部分加入了可视化模拟，如： 波的传播、电场分布、热运动的变化趋势等。可视化模拟更能激发学生的学习兴趣，调动学生的创造力，发挥学生的想象力，帮助学生更好地完成学习任务。

数学物理方程这门课程用到的基础知识较为广泛，如果将它们统统集中安排在前面叙述，这样学起来感到枯燥无味，因此本书将所涉及的基础知识分别插入到相应的解法中去叙述。本书中主要用到数学分析、线性代数和常微分方程的知识，有些段落也用到复变函数的知识，在第7章还用到一些泛函分析的知识。因此，本课程安排在数学相关专业第三学年为宜。本书内容包括数学物理定解问题的常用解法： 分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法、特殊函数（着重是贝塞尔函数和勒让德函数）、极值原理及应用。作为教材使用时可根据具体情况加以取舍。对于工科相关专业学生建议重点学习第1~6章，而数学相关专业的学生学习第1~5，7章。

作为东北大学秦皇岛分校校级立项教材，本书得到东北大学秦皇岛分校给予的经费资助，同时在清华大学出版社及本书编辑陈明、赵从棉的支持推动下，本书得以顺利出版，作者对他们的支持和帮助表示衷心感谢。

编者

2014年7月秦皇岛