更新时间：2024-05-21 11:43
设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：
Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)；
Ⅱ.G中有元素e，它对G中每个元素a都有 e*a=a，叫做G的左单位元；G中有元素e，它对G中每个元素a都有 a*e=a，叫做G的右单位元；如果e既是左单位元又是右单位元，则e叫做G的单位元。
Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^(-1)，叫做a的左逆元，使 a^(-1)*a=e；
则称G对代数运算*做成一个群。
一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：
（1）
若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;
（2）
任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);
（3）
存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;
（4）
任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b.
通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab.
若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。
如果G对于运算*为一个群，H包含于G并且H对*构成一个群，那么称H为G的子群。
这条定理可以判定G的子集是否为一个子群：
HH=H且H^(-1)=H <=> H是G的子群
群论是法国传奇式人物Galois的发明。他用该理论解决了五次方程问题。今天，群论经常应用于物理领域。粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。
在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群，二维旋转群，三维旋转群以及和反应四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。
在研究群时，使用表象而非群元是较方便的，因为群元一般来说都是抽象的事物。表象可以看成矩阵，而矩阵具有和群元相同的性质。不可约表象和单位表象是表象理论中的重要概念。