更新时间：2022-09-21 17:29
容易验证模n互质同余类在乘法运算下满足阿贝尔群的公理。
恒同: 1 是恒同；
闭：如果a和b都与n互质，那么ab也是；
逆：找x满足ax≡ 1 (modn) 等价于解ax+ny= 1，可用欧几里得算法求出；
结合性和交换性：由整数的相应事实以及模n运算是一个环同态推出。
整数模n环记作 或（即整数环模去理想nZ= (n) ，由n的倍数组成）或因作者所喜，它的单位群可能记为或类似的记号。
模 2 只有一个互质同余类 1，所以 平凡。
模 4 有两个互质同余类，1 和 3，所以两元循环群。
模 8 有四个互质同余类，1, 3, 5 和 7，每个平方都是 1，所以Klein 四元群。
模 16 有八个互质同余类，1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 和 15。为 2-扭子群（即每个元素的平方为 1），所以不是循环群。3的幂次：1,3,9,11 是一个 4 阶子群，5 的幂次也是，1,5,9,13。所以。
对奇质数的幂p，此群是循环群：
中国剩余定理说明如果那么环 每个质数幂因子相应的环的直积：
类似地，的单位群是每个质数幂因子相应群的直积：
群的阶数由欧拉函数给出：（OEIS中的数列A000010） 这是直积中各循环阶数的乘积。
指数为卡迈克尔函数，（OEIS中的数列A002322），即这些循环群的阶数的最小公倍数。这意味着如果a和n互质，。
是循环群当且仅当。这在n为奇质数的幂次、奇质数幂次 2 倍、2 和 4 成立，此时也称一个生成元为模 n 的原根。
因为所有n= 1, 2, ..., 7 是循环群，上述结论的另一种说法是：如果n< 8 那么 有原根；如果n≥ 8，且不能被 4 或者两个不同的奇质数整除，有原根。( A033948= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 49, 50, ... )
一般情形每个直积因子循环有一个生成元。