更新时间：2022-08-25 13:42
个非平凡的环R称为一个整环，假如满足以下要求乘法适合交换律，ab=baR没有零因子，ab=Ota=0或b=0。这里6可以是R的任意元。换句话说，一个无零因子的非平凡交换环称为整环。整数环显然是一个整环。
整环是无零因子的交换幺环。
若F是K的扩域，X是F的子集，则X在K上生成的子环K[X]为整环。
若Y是仿射簇，则Y的仿射坐标环A(Y)为整环。
我们知道有理数域 ，它是由所有整数的商（除数不为0）构成的集合。一下将仿照由整数构造有理数的方法，由任意一个整环，构造一个包含该整环的域。通常称这种构造方法为局部化方法。
命题1，设R是一个整环，令 。在 上定义关系（即“分数相等规则”）：
则 是 的等价关系。
命题2，记号同上，利用整环R的运算，在集合 上定义两个运算：
则 是域。
定义1，上述构造的域F称为整环R的商域，或称为整环R的分式域。
定理1，整环R的商域F是包含R的最小域。
定理2，设 分别是整环 的商域，若 是环同构，则存在 到 的域同构 ，且 。
定义3，设a,b是环 中的两个非零元素。
如果，则称a是中的一个左零因子；b是中的右零因子；若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它是零因子；若a是环中的非零元，且存在正整数k，使，则称a是一个幂零元。
定义4，设是一个环，对于任意，若，则有或成立，其中θ是的零元，那么称环是无零因子环。
一个环是一个集合 A 以及它上面的两种运算，分别称为+和*，满足以下条件：
1、A 关于加法成为一个 Abel 群（其零元素记作 0）；
2、乘法满足结合律：(a * b) * c = a * (b * c)；
3、乘法对加法满足分配律：a * (b + c) = a * b + a * c, (a + b) * c = a * c + b * c；
如果环 A 还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：
4、乘法交换律：a * b = b * a。
如果交换环 A 还满足以下两条件，就称为“整环”（integral domain）：
5、A 中存在非零的乘法单位元，即存在 A 中的一个元素，记作e，满足：e 不等于 0，且对任意 a，有：e* a = a * e= a；
6、ab=0 => a=0 或 b=0。
例：
1、整数环是整环。
2、整环上的多项式环仍是整环。
3、当 n>1 时，任意环上的n阶矩阵环不是整环。