更新时间:2022-08-25 13:42
个非平凡的环R称为一个整环,假如满足以下要求乘法适合交换律,ab=baR没有零因子,ab=Ota=0或b=0。这里6可以是R的任意元。换句话说,一个无零因子的非平凡交换环称为整环。整数环显然是一个整环。
整环是无零因子的交换幺环。
若F是K的扩域,X是F的子集,则X在K上生成的子环K[X]为整环。
若Y是仿射簇,则Y的仿射坐标环A(Y)为整环。
我们知道有理数域 ,它是由所有整数的商(除数不为0)构成的集合。一下将仿照由整数构造有理数的方法,由任意一个整环,构造一个包含该整环的域。通常称这种构造方法为局部化方法。
命题1,设R是一个整环,令 。在 上定义关系(即“分数相等规则”):
则 是 的等价关系。
命题2,记号同上,利用整环R的运算,在集合 上定义两个运算:
则 是域。
定义1,上述构造的域F称为整环R的商域,或称为整环R的分式域。
定理1,整环R的商域F是包含R的最小域。
定理2,设 分别是整环 的商域,若 是环同构,则存在 到 的域同构 ,且 。
定义3,设a,b是环 中的两个非零元素。
如果,则称a是中的一个左零因子;b是中的右零因子;若一个元素既是左零因子,又是右零因子,则称它是零因子;若a是环中的非零元,且存在正整数k,使,则称a是一个幂零元。
定义4,设是一个环,对于任意,若,则有或成立,其中θ是的零元,那么称环是无零因子环。
一个环是一个集合 A 以及它上面的两种运算,分别称为+和*,满足以下条件:
1、A 关于加法成为一个 Abel 群(其零元素记作 0);
2、乘法满足结合律:(a * b) * c = a * (b * c);
3、乘法对加法满足分配律:a * (b + c) = a * b + a * c, (a + b) * c = a * c + b * c;
如果环 A 还满足以下乘法交换律,则称为“交换环”:
4、乘法交换律:a * b = b * a。
如果交换环 A 还满足以下两条件,就称为“整环”(integral domain):
5、A 中存在非零的乘法单位元,即存在 A 中的一个元素,记作e,满足:e 不等于 0,且对任意 a,有:e* a = a * e= a;
6、ab=0 => a=0 或 b=0。
例:
1、整数环是整环。
2、整环上的多项式环仍是整环。
3、当 n>1 时,任意环上的n阶矩阵环不是整环。