更新时间：2022-08-25 14:30
普吕克公式是1839年得到的曲线计数几何中的一组重要公式。
在数学上，以尤利乌斯·普吕克（JuliusPlücker）命名的普吕克公式是普吕克于20世纪30年代首先开发的一种公式，在曲线和它的对偶函数中，常被称为“属”的不变量，与其他不变的公式相关联。不变量称为曲线及其双重共同的属，通过类似的公式连接到其他不变量。这些公式以及每个不变量必须是正整数的事实对其可能的值给予相当严格的限制。
在此背景下的曲线由复杂射影平面内的非退化代数方程定义。在这个平面上的直线对应于双投影平面上的点，与给定代数曲线C相切的直线对应于一个代数曲线C中的点，称为对偶曲线。在射影平面与它的对偶之间的对应关系中，C点对应于切线C *，所以C *的对偶可以与C相结合。
普吕克公式所涵盖的前两个不变量是曲线C的d和d *，经典地称为C类，d是给定的直线与C的交点的次数。(这包括在无穷远处的复杂点，因为这些曲线是复杂射影平面的子集。)类似地，d *是C的切线的个数，它是通过平面上给定的点的直线；例如，一个圆锥截面有两个度。如果C没有奇异点，那么第一个普吕克方程就说明了这一点
但这必须用奇异曲线来修正。
在C的双点中，让δ是普通的数字，即具有明显的切线（这些也称为节点）或是孤立点，并且令κ为尖点的数量，即具有单切线（spinodes）。 如果C具有较高阶奇点，则根据对奇点性质的分析，将它们计算为多重双点。 例如，普通的三重点被计算为3个双点。 同样，复数点和无穷大点都包含在这些计数中。 修正后的形式是第一个普吕克方程式。
类似地，令δ*是普通双点数，κ*是C *的数量。 然后第二个普吕克方程表示
C *的普通双点的几何解释是在两点（双切线）处与曲线相切的线，并且C *的尖点的几何解释是拐点（固定切线）。
例如，考虑平滑立方的情况：
上面的公式表明它有
拐点。 如果三次退化并得到一个双点，则6个点会聚到奇异点，并且只有3个拐点沿奇异曲线保持。 如果立方退化并获得尖点，则只剩下一个拐点。
请注意，前两个普吕克方程有双重版本：
到目前为止，给出的四个方程实际上是依赖的，所以任何三个方程可以用于导出剩余的。从它们中，给出d，d *，δ，δ*，κ，κ*中的任何三个不变量，可以计算剩余的三个。
最后，C的属，经常被定义为：
并且是正整数。
在7个未知数中共有四个独立的方程，并且与它们中的任何三个这些不变式可用于计算剩余的四个。
一个重要的特殊情况是当曲线C是非奇异的，或者等价地δ和κ是0时，剩下的不变量只能用d来计算。 在这种情况下，结果是：
因此，例如，非奇异四边形平面曲线属于3类，具有28个双切线和24个拐点。
曲线根据其普吕克不变量分类为许多类型。普吕克方程以及普吕克不变量必须都是自然数的限制极大地限制了给定度的曲线的可能类型的数量。投影等效的曲线具有相同的类型，尽管相同类型的曲线通常不是投射等价的。 2级曲线，圆锥截面，具有d=d*= 2给出的单一类型，
对于3级曲线，有三种可能的类型，由下式给出：
类型（ii）和（iii）的曲线分别是合理的立方体，分别称为节点和尖端。 类型（i）的曲线是非圆形立方体（椭圆曲线）。
对于4级曲线，有10种可能的类型，由下表给出：