d.如果要求x(tf)落在m维流型S上，

那么边界条件为

如果tf是自由的，再增加条件

可以看出，上述的正则方程和边界条件与u无约束的情况用变分法导出的完全相同。

如果最优控制问题是求u∈U，使得目标函数J(u)最大，在最大值原理中，最优控制u*应使哈密顿函数值最大，即

对区间[t0 ,tf]上的所有t成立，其含义是：对于由最优控制u=u*(t)引发的x*(t)和协状态λ*（t），哈密顿函数作为u函数，在u=u*(t)处取最小值。

在u为标量的情况，必要条件的含义是：在特定的时刻t和特定的x*(t)、λ*（t）曲线，哈密顿函数的右端可以看做u的函数，最优控制u*(t)使它取最小值

当U为闭区间[a,b]时，允许的控制满足

哈密顿函数仅作为u的函数，有如图《函数情况》所示的三种情况：

第一种情况：哈密顿函数的最小值在区间[a,b]内的点达到。如果哈密顿函数关于u是可微的，则必要条件为

其他两种情况是哈密顿函数的最小值在区间[a,b]的边界点达到，这时则必须用更广泛的条件

也就是用条件

来描述。

当x(tf)是自由的时，应用最大值原理求最优策略的具体步骤如下：

第1步：构造系统的哈密顿函数为

第2步：由

导出决策变量u与状态变量x、协状态变量λ的关系，记为u=u(x,λ)。

第3步：写出以下正则（正规）方程组为

将u=u(x,λ)带入正则方程，解出x=x*(t),λ=λ*(t)。

第4步：将x=x*(t),λ=λ*(t)代入u=u(x,λ)得到最优策略

如果决策问题还要求满足边界条件x(tf)=xf ，则以这个边界条件取代正则方程组中的条件：

最大值原理虽然解决了古典变分法所遇到的困难，但是它也只给出了最优控制问题解的必要条件，而不是充分条件，所以由最大值原理所求的控制函数不一定是最优控制，因为有可能最优控制根本不存在。如果最优控制问题的解存在，但是从这方法得到的控制函数不止一个，就需要进行逐个检验，从中确定出最优解，如果该问题的实际物理背景有最优控制，而从最大值原理得到的解又只有一个，那么这个解一定是最优控制。