更新时间：2023-01-05 02:05
最大元（greatest element）是偏序集中的一种特殊元素，指偏序集的子集中不小于一切的元素。与此相关的概念还有，极大元：指偏序集中没有比它更大的可比较的元素；最小元：指偏序集的子集中小于或等于一切元素的元素；极小元：指偏序集中没有与它可比较的更小的元素。
一种特殊元素，指偏序集的子集中不小于一切元素的元素。令
定义1，设P是集合，P上的二元关系“≤”满足以下三个条件，则称“≤”是P上的偏序关系（或部分序关系）：
（1）自反性：a≤a，∀a∈P；
（2）反对称性：∀a，b∈P，若a≤b且b≤a，则a=b；
（3）传递性：∀a，b，c∈P，若a≤b且b≤c，则a≤c；
具有偏序关系的集合P为偏序集（或称半序集），记为（P，≤）。a≤b读作“a小于或等于b”或“a含于b”，a
定义2，设（P，≤）是偏序集，对于P中任意二元x，y有x≤yyRx，则称R是≤的逆关系，记作≤-1。≤-1称为≤的逆。
定理1，设（P，≤）是偏序集，则（P，≤-1）也是偏序集，偏序集（P，≤-1）称为偏序集（P，≤）的对偶，简记作P-1。
定义3，设（P，≤）是偏序集，NP，由于关系≤是P×P的子集，令≤N=≤∩(N×N)是≤与N×N的交集，则称≤N是关系≤在N上的限制。
定理2，设（P，≤）是偏序集，关系≤N是≤在N上的限制，则（N，≤N）是偏序集，称为（P，≤）的子偏序集。
偏序集中的一种特殊元素，指偏序集中没有与它可比较的更小的元素。设
偏序集中的一种特殊元素，指偏序集中没有比它更大的可比较的元素。设
一种特殊元素，指偏序集的子集中小于或等于一切元素的元素。令
设
①若y∈B满足任取x∈B，y≤x→x=y，则称y为B的极大元；(箭头表示“蕴含”)
②若y∈B满足任取x∈B，x≤y，则称y为B的最大元；
易得最大元必是极大元，但极大元不一定是最大元，应注意极大元和最大元的区别。 最大元是B中最大的元素，它与B中其它元素都可比；而极大元不一定与B中其它元素都可比，只要没有比它大的元素，它就是极大元。对于有穷集合B，极大元一定存在，但最大元不一定存在。最大元如果存在一定是唯一的，但极大元可能有多个。
请注意极小元和最小元的区别。最小元是B中最小的元素，它与B中其它元素都可比；而极小元不一定与B中其它元素都可比，只要没有比它小的元素，它就是极小元。对于有穷集合B极小元一定存在，但最小元不一定存在。最小元如果存在一定是唯一的，但极小元可能有多个。