我们现在来看扇形AFCO (“扇形”是圆的1/4)。显然，这一扇形也是半圆ACB面积的一半，据此，我们可直接得出：

半圆AECD的面积=扇形AFCO的面积。

最后，我们只需从这两个图形中各自减去它们共同的部分AFCD，如图4所示，即半圆AEC的面积减去AFCD部分的面积=扇形AFCO的面积减去AFCD部分的面积。

从图4中可以看出，剩下的部分就是新月形AECF的面积，且等于三角形ACO的面积。

我们可以作一个正方形，使其面积等于三角形ACO，因而也等于新月形AECF的面积。这就是我们所寻求的化新月形为正方形的问题。

这的确是数学上的一大成就。评注家普罗克洛斯以他5世纪的眼光，认为希俄斯的希波克拉底是一位作图的天才。

希波克拉底于公元前5世纪生于希俄斯岛。关于希波克拉底，我们对他的生平所知甚少。亚里士多德曾写过，希波克拉底虽然是一位天才的几何学家，但他看起来在其他方面却显得迟钝又缺乏见识。身为数学家，却难以应付日常生活，他就是这样一类人。传说，希波克拉底是在被强盗骗去钱财后出名的，显然，他被人当做了容易受骗的傻瓜。为了挽回损失，他前往雅典，并在那里教学，他是少数几位为挣钱而开始教学生涯的人物之一”。

希波克拉底对几何学作出了两个非凡的贡献。其一是他编写了第一部《原本》，第一次阐述了从几个已知公理或公设中精确而有逻辑性地推导出几何定理的过程。但遗憾的是，这部书没有能够流传至今。

然而，这部书不论多么有价值，与100年后欧几里得的煌煌巨作《几何原本》相比，也不免黯然失色。欧几里得的《几何原本》从根本上宣判了希波克拉底著作的过时。即使如此，我们仍有理由认为，欧几里得借鉴了他前辈的思想。

令人欣慰的是，希波克拉底的另一个伟大贡献一新月形面积的求法，却流传至今。

公元前5世纪，求平面图形的面积是古希腊数学家面临的最严重的挑战。确切地说，一个平面图形的面积就是只用圆规和直尺作出面积等于原平面图形的正方形。如果个平面图形的面积能够求出，那么，就认为这个图形是可用等价平方表示的(或可为平方的)。

求面积问题能够引起希腊人的兴趣并不奇怪。从实践的观点看，确定一个不规则图形的面积当然不是一件易事，但如果这个不规则图形能够用一个等面积的正方形替换，那么，确定原不规则图形面积的问题就变成了确定正方形面积的简单问题。

对于希腊数学家来说，探讨面积的求法是一个特别具有吸引力的课题，为此，他们作出了许多巧妙的几何图形。

解数学问题，答案常常是一步一步推导出来的，求面积也是如此。第一步先要求出一个大体上“规则”的图形的面积，然后再以此为基础，继续推导出更不规则、更稀奇古怪的图形的面积。

希波克拉底时代的希腊人利用上述方法可以将杂乱无章的不规则多边形变为等面积的正方形。但是，这一成就却因一个明显的事实而减色不少，即这些图形都是直线图形一它们的边 虽然数量众多，并构成各种奇形怪状的角度，但都只是直线。更严重的挑战是，曲边图形(即所谓曲线图形)是否也可以用等价平方表示。起初，人们认为，这似乎是根本不可能的，因为显然没有办法用圆规和直尺将曲线拉直。因此，当希波克拉底于公元前5世纪成功地将一种称为“新月形”的曲线图形化为正方形时，世人惊得目瞪口呆。

球面二角形亦称月形或瓜瓣形，是一种特殊的球面图形，球面上两个对径点和以这两点为端点的两个半大圆所围成的球面图形称为球面二角形。构成球面二角形的两个半大圆称为它的边，两个对径点称为它的顶点，一个顶点和两条边所构成的球面角称为它的角，球面二角形也可以看做是半圆周绕直径旋转某一角度α所成的旋转面，球面二角形的大小可以用其角的大小来表征，其角是锐角的球面二角形称为锐球面二角形；其角是直角的球面二角形称为直球面二角形；其角是钝角的球面二角形称为钝球面二角形；其角是优角(大于180°，小于360°)的球面二角形称为优球面二角形。

介于相交的两个半大圆之间的球面部分，称为球面月形，换言之，即球面被以一直径为棱的二面角所截的部分。

这两半大圆的交角，即这二面角的度量，称为月形的角（图5），于是有

定理 同球两月形之比等于它们的角之比。

且有以下结论：

1° 角相等的两个月形是全等的，因为迭合了它们相应的二面角，它们便迭合了。

2° 以两月形A，B的角之和为角的月形C，其面积为A，B面积之和，只要使两月形成为相邻的（两个相邻的二面角所确定的月形，称为相邻的），就显然了(图5)，而由1°，我们是可以这样办的。

从上面所指出的两点，可以推出我们想要证明的命题。

系 月形的面积是它的角的两倍(在所设的单位制下)。

因为角为直角的月形显然是球面的四分之一，因此它的面积是数π，至于它的角则为π/2。

由于这个月形面积的度量与角的度量之比等于2，所以对于一切其他月形也如此(上述定理)。