更新时间：2022-08-25 15:10
有理函数逼近，简称为有理逼近，函数逼近论中的一个重要研究课题。早在19世纪末和 20世纪初，∏.Л.切比雪夫及C.de la瓦莱·普桑就开始研究实轴上有界区间整个实轴上有理函数的最佳逼近问题，研究了有理函数最佳逼近的存在性，惟一性以及交错点定理。
有理函数是两个代数多项式之比，其中分母在所考虑的自变量区间内不等于零。在切比雪夫研究多项式逼近的同时也就已经考虑了有理函数的最佳逼近理论。但真正受到重视是在1964 年纽曼(D.J.Newman) 发现用 n 次有理丽数在 上通近丽数 的过近度可以达到 的惊人结果发表以后。许多与代数多项式逼近问题可对有理函数通近作平行的讨论。例如，关于有理逼近的正定理和逆定理也都已建立。
С.Η.伯恩斯坦、A.И.阿希耶泽尔及E.И.佐洛塔廖夫等应用切比雪夫理论解决了一系列具体函数用有理函数的最佳逼近问题。特别是左洛塔廖夫研究了在二个不同区间上具体函数的有理函数最佳逼近问题，这在滤波理论上有重要的应用。
以后，在Α.Η.柯尔莫哥洛夫和C.H.梅尔捷良等影响下，A.A.贡恰尔、Ε.∏.多尔任科、A.∏.布拉诺夫、∏.∏.彼得鲁晓夫等作了很多深刻的研究。特别地，在50年代开始，他们对逼近的反问题，即从有理函数最佳逼近值趋向于零的速度来研究逼近函数的结构性质方面作了一系列的研究。以后在正问题上，即从函数的结构性质来研究有理函数最佳逼近阶的估计以及在研究有理函数最佳逼近值与多项式逼近值之间的关系与差别方面也得到了不少重要的结果。
应该指出，在正问题方面，D.J.纽曼在1964年跨出了关键性的一步，他指出对│x│用n次有理函数逼近得到的阶的估计为，则ƒ(x)可以从 [-1,1] 解析开拓到以±1为焦点，长短半轴之和为R的椭圆中去。但是对于有理函数逼近,情况可以完全不同,不管Rn(ƒ;[-1,1])以多么快的速度趋向于零，仍然不能保证ƒ(x)在[-1,1]上有很好的结构性质，更谈不上具有解析性质了。必须除去一个例外集，ƒ(x)才有较好的结构性质。有人还将这些结果推广到复数域中去。
如果想要从有理函数逼近的速度来推出函数在整个逼近的区间上被逼近函数的性质，就还需要给出有理函数极点分布的情况。这实际上也与给定极点有理函数逼近的逆定理有关了。