更新时间：2024-03-21 17:27
朗伯W函数（Lambert W Function），又称为“欧米加函数”或“乘积对数函数(product log function)”，是 f(w)=w.exp(w) 的反函数，其中exp(w) 是指数函数，w 是任意数。对于任意复数z，都有z=w(z)*e*。
朗伯W函数(Lambert W Function)由约翰·海因里希·朗伯(Johann HeinrichLambert)命名。在Digital Library of Mathematical Functions(储存特殊函数的数学运用的一个网络项目)中主分支
被表示为
，分支 被表示为 。
满足微分方程
所以
此外，我们有
函数 或一些包含 的表达式可运用代换 进行积分。( )
特殊的有
函数 有泰勒展开式
收敛半径为 。
对于大的数 ， 有渐近展开式
和
其中 ， ， 是非负的第一类斯特灵数(Stirling number of the first kind)。
在展开式中只留前两项
另一分支 ，当 时有相似的渐进展开式， ， 。
的平方有泰勒公式
更一般的情况下，当 是整数，有
的 次方有泰勒公式
其中 是任意复数，
用朗伯W函数的定义，我们有
当 为一非0的代数时， 为超越数。如果 为非0的代数数，运用林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）， 一定是超越的，因此 也是超越数。
其中 为欧米加常数(Omega constant)。
朗伯W函数可以解许多包含指数函数 的方程。其中主要的方法是把所有未知数移向一边，令方程变成 形式，解出 。
更一般的
其中 ，可以使用代换
解出
因此最后答案为
如果 ，方程有第二个解
或
因为根据定义，有
关于超-4运算(tetration，另见超运算)的方程
如果超运算收敛至一个数 ，则
解出
的解为
延迟微分方程(delay differential equation)
的特征方程为
解出
其中 为朗伯W函数的分支。如果 ，则只用考虑其主分支 。
朗伯W函数可以用牛顿迭代法(Newton's method)求其近似值 使 。
函数亦可以使用哈雷迭代法(Halley's method)求近似值。