更新时间：2024-04-02 11:48
在代数（特别是环理论）中，如果一个整系数多项式的所有系数是互素的,则称它是一个本原多项式。有限多个本原多项式的乘积仍是本原多项式。
设是唯一分解整环 上的多项式，如果 ，则称 为 上的一个本原多项式。（符号表示最大公约数）
本原多项式满足以下条件，本原多项式要求为不可约多项式：
1）是既约的，即不能再分解因式；
2）可整除，这里的；
3）不能整除，这里。
高斯引理：本原多项式的乘积还是本原多项式。
证明：设 和 分别是n次与m次的本原多项式。
令
其中
这里，当s>n或t>m时，规定 及 。
假定 不是本原的，则存在 上的不可约元 ，使。（式表示整除）
已知 ，设 及 中最先一个不能被整除的元素分别为 与 ，则
因为且，而 不整除 、 ，所以 不整除 ，这与能整除矛盾。
这就证明了 为本原多项式。
1）在MATLAB中，本原多项式可以通过函数primpoly(x)来产生。
2）在MATLAB中，通过函数gfprimfd(m,'min')可以找到一个最小的本原多项式。