更新时间：2022-08-25 17:56
李亚普诺夫第二方法是通过寻找满足某种几何性质的函数值直接推证方程组稳定性的一种方法。
李亚普诺夫第二方法就是借助于一个所谓李亚普诺夫函数V(x,t)及根据微分方程所计算得到的V沿着轨线的导数dV/dt的符号性质来直接推断稳定性问题。
考虑实方程组 这里X在集Ω(A,τ):||x||≤A,t≥τ上连续且满足局部李普希茨条件，且当t≥τ时，X(0;t)≡0。
设数量函数V(x,t)及W(x)分别在Ω(A,τ)及Ω(A)中有定义且连续，对于t≥τ有V(0,t)≡0及W(0)=0，V(x,t)在Ω(A,τ)内称为常正的（常负的），如果它在此集中≥0（≤0）；W(x)在Ω(A)内称为定正的（定负的），如果对于x≠0，它在Ω(A)内均>0（<0）；V(x,t)在Ω(A,τ)内称为定正的（定负的），如果它在该集中不小于（不大于）定正（定负）函数W(x)。如果进一步要求V(x,t)为C1函数，则它沿着实向量方程组的轨线的导数为
函数V(x,t)称为Ω(A,τ)上的李亚普诺夫函数，如果它在该集中是定正的，且dV/dt为常负的。
下面叙述李亚普诺夫给出的几个定理：
1.(稳定性定理)如果存在定义于Ω(A,τ)上的李亚普诺夫函数V(x,t)，则原点是稳定的；
2.(渐近稳定性定理)如果在Ω(A,τ)内有一个不大于定正函数W1(x)的李亚普诺夫函数V(x,t)，并使dV/dt为定负，则原点是渐近稳定的；
3.(不稳定性定理)设U(x,t)为定义于Ω(A,τ)上的有界C1函数，在Ω的某一子域Ω1内U>0，Ω1的边界的一部分B包含射线T:x=0，t≥τ，且在B上U=0。假定下列条件成立，则原点是不稳定的：
1)只要t0≥τ，就有点(x0,t0)∈Ω1任意接近T；
2)对于每一个小的h>0，有k(h)>0，使得在Ω1内U≥h蕴涵在Ω1内U'≥k(h)。