更新时间：2022-08-25 15:02
极大积分流形(maximal integral manifold)是某种意义下为极大的积分流形。设(N，ψ)是流形M的分布D的连通积分流形，且其像不是D的其他连通积分流形的真子集，则称(N，ψ)为D的极大积分流形。
设是定义在维光滑流形上的维分布，设是分布的一个连通积分流形，并且它的像不是的另一个连通积分流形的真子集，则称是的极大积分流形。
定理1 (弗罗贝尼乌斯定理) 设是定义在开子集上的维光滑分布，如果满足弗罗贝尼乌斯条件，则在每一点，存在局部坐标系，使得，并且
定理2 设M是具有第二可数公理的m维光滑流形，是M上的h维光滑分布，如果满足弗罗贝尼乌斯条件，则对于任意一点，必存在的唯一的一个极大积分流形经过点p，并且的经过点p的每一个连通积分流形必包含在这个极大积分流形内。
下面叙述关于定理证明的大意。
根据弗罗贝尼乌斯定理，在M上存在一族局部坐标系，其中构成M的可数开覆盖，且在中的坐标面
是的h维积分流形。
设N是连通的h维光滑流形，且是的积分流形，即
根据的连续性，若，则有点p在N中的连通邻域V，使得，故包含在的某个坐标面(1)内，设q是N上另外一点，C是联结p，q的分段光滑曲线，则C可以用有限多个如上所述的邻域V覆盖住。换句话说，N上任意一点q都能用分段光滑曲线与点p连结起来，并且其中每一段光滑曲线都是的一维积分流形，即有[0，1]的分割
使得每一段曲线是光滑的，并且是的一维积分流形。
上述讨论启发我们如何去构造分布的经过点的极大积分流形。设，令={：q能用分段光滑曲线与p连结，且每段光滑曲线是的一维积分流形)． (2)在K上能引进光滑流形结构，使之成为h维连通光滑流形，并可证明是的经过点p的极大积分流形，这里是包含映射。
事实上，若，则q必属于某个，于是坐标面
的含有q的连通分支必包含在K内，将该连通分支取为点q在K中的坐标邻域，且以为其中的局部坐标。可以验证，这样给出的坐标邻域构成K的-坐标覆盖，从而使K成为h维光滑流形，且是的积分流形。根据K的定义以及前面的讨论，若是的经过点p的连通积分流形，则必有，因此K是极大的。
由定理2可见，在M中存在一族h维连通的、单一浸入的子流形，满足如下条件：
(1)对于M上任意一点p，必有族中的一个子流形通过它；
(2)存在点p的局部坐标系，使得在族中的子流形满足时，的连通分支为
这样的子流形族称为M的一个叶状结构(foliation)，其中的每一个子流形称为叶(leaf)。
因此，定理2的意义是：M上满足弗罗贝尼乌斯条件的h维分布在M上决定了一个叶状结构。关于叶状结构的拓扑和几何的研究，是60年代以来一个重要的课题。